理想教育2023年寒假八年级数学预习资料（01）
学校姓名：__得分：__
一、复习导入：
1、什么是平方根？什么是算术平方根？
2、要使代数式有意义，则的取值范围是（ ）
a. b. c. d.
二、新课讲解：
1、二次根式的定义：. 般地，式子（≥0）叫做二次根式，a叫做被开方数。
从形式上看，二次根式必须具备以下两个条件：
1 ) 必须有二次根号；
2 ) 被开方数不能小于0。
点拨：（1）有意义的条件是≥0；（2）无意义的条件是<0.
例1：求下列二次根式中字母a的取值范围：
课堂练习1】
求下列二次根式中字母的取值范围：
3、二次根式性质的探索：
22=4，即（）2= 4；32=9，即（）2= 9；……
二次根式的性质1：
例2：计算。
课堂练习2】
计算下列各式的值：
填空：发现：当a≥0时， a, 当a＜0, -a
二次根式的性质2：
例3：化简： （1） （2）
课堂练习3】
化简（1） （23） （a+b≥0）
例4：(1)已知y=++5，求的值． (2)若+=0，求a2014+b2014的值．
例5：在实数范围内分解下列因式：
1）x2-32）x4-43) 2x2-3
4、积的算术平方根的性质：
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积（各因式必须是非负数）．
即，反之也然。
例6：化简：( 12 )
注意：一般地，二次根式化简的结果应使根号内的数是一个自然数，且在该自然数的因数中，不含有1以外的自然数的平方数。
例7： 计算：
课堂练习4】
计算：( 1 ) 2 )
5、商的算术平方根：
商的算术平方根等于被除式的算术平方**以除式的算术平方根（被除式必须是非负数，除式必须是正数）。即，反之也然。
例8：计算：
课堂练习5】计算：
巩固练习】1、在实数范围内有意义，则a的取值范围（ ）
a）a≥3 （b）a≤3 （c）a≥－3 （d）a≤－3
2、下列各等式成立的是（ ）
a．4×2=8 b．5×4=20 c．4×3=7 d．5×4=203、计算：
4、若+有意义，则=__
5、分母有理化：(123
6、已知+=0，求xy的值．
7、计算：（1）； 2）； 3) ；4)
理想教育2023年寒假八年级数学预习资料（02）
学校姓名：__得分：__
一、复习导入：
1、积的算术平方根的性质：，反之也然。
2、商的算术平方根的性质：，反之也然。
3、复习练习：
化简： （1）; 2） ;3） ;4） ;5）
二、新授：观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下三个特点：
1．被开方数不含分母；
2．分母中不含根号；
3. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．
例1．化简：(1) ;23)
课堂练习1】
1、化简：（1）
2、下列二次根式中，是最简二次根式的是。
a． b． c． d．
例2．如图，在rt△abc中，∠c=90°，ac=2.5cm，bc=6cm，求ab的长．
互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-与x+1+就是互为有理化因式；与也是互为有理化因式．
分母有理化：是指把分母中的根号化去，通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．例如：。
例3：将下列各式进行分母有理化：
课堂练习2】
1、+的有理化因式是x-的有理化因式是。
2、化简：（1） （2） （3） （4） （5）
例4：观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
=-1，=-同理可得：=-
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算。
2）计算1）的值．
三、巩固练习：
1．如果（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）
a．（y>0） b．（y>0） c．（y>0） d．以上都不对。
2．把（a-1）中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）
a． b． c．- d．-
3．在下列各式中，化简正确的是（ ）
a．=3 b．=±
c．=a2 d． =x
4．化简的结果是（ ）
a．- b．- c．- d．-
5. 化简的结果是（ ）
a. b. c. .d.
6. 若a≤1，则化简后为（ ）
a. b.c. d.
7. 已知为实数，且，则的值为（ ）
a．3 b．– 3 c．1 d．– 1
8. 下列计算正确的是。
a． b． c． d．
9.观察分析下列数据，按规律填空：，2，，2第n个数)。
10.化简或计算：
11、若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++
12、在实数范围内分解下列因式：
（1）x2-22）x4-93x2-5
理想教育2023年寒假八年级数学预习资料（03）
学校姓名：__得分：__
一、复习导入：
1、二次根式有如下三个特点：
1．被开方数不含分母；
2．分母中不含根号；
3. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述三个条件的二次根式，叫做最简二次根式．2、化简：
3、计算下列各式．
1）2x+3x2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a3
二、新授：计算下列各式．
同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式。
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
例1．（1）下列根式中，与是同类二次根式的是（ ）
a. b. c. d.
2）与不是同类二次根式的是（ ）
a. b. c. d.
例2：计算。
分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．
课堂练习1】
1、下面说法正确的是（ ）
a. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式； b. 与是同类二次根式。
c. 与不是同类二次根式； d. 同类二次根式是根指数为2的根式。
2、下列式子中正确的是（ ）
ab. cd.
3、计算：（12）
例4：计算：
课堂练习2】
计算：（12）
三、巩固练习：
1、下列计算中，正确的是（ ）
a、2b、
c、 d、2、计算的结果是（ ）
a、0 b、 c、 d、
3、以下二次根式：①；中，与是同类二次根式的是（ ）
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