2012理科数学(新课标)19题评分细则。
19)(本小题满分12分)
攵鎏，直三棱柱。
厶鸟g中。bc一。
/c=bc=:/坞。
d是棱z坞的中点，dg⊥bd
1)证明： dg⊥bc
2)求二面角zdl-bd-g的大小。
解：(1)解法一：在。
r1⒑ac中，彳d=彳c
¨¨¨1分。
得： z'dc=45°
同理：z/ldg=45°→
zαe=⒛……¨2分。
dc1⊥dc,所以dg⊥bd,……3分。
dc∩bd=ddg⊥面。
z,cd→dq⊥bc
………5分。
………4分。
解法二：由题知，三棱柱的侧面为矩形，由子d为彳。
l的。中点。
故dc=dg………1分。
又。c=:剧。
l,可得。dq2+dc2=cc12
¨…¨2分。
所以。dcl⊥dc,dcl⊥bd,……3分。
dc∩bd=d
dcl⊥面bcd=)dq⊥
bc………4分。
………5分。
解法三：设。
c=bc=1,则。
db=dcl
dc=vξ,cc1=2,clb=√5
clb2-cld?=v5
在覃角三角形cldb中。
所以dc2+bc2故bc⊥
2分=db2……
dc:c……3分。
又gc⊥dc∩ccl=c
所以bc⊥cc】
d………4分。
故dg⊥bc………5分。
解法四：设。
c=bc=1,则dg=dc=vt,cg=2,clb=√,b=√db2~ⅱd2=vξ
…2分。5…¨刂分。
在直角三角形abd中。
所以/c2+bc2=/尸故/c⊥
bc¨……3分。
abc上的射影为ac,……4分。
又因dg在底面。
故dg⊥bc¨……5分。
2)解法一： dg⊥bc,cq⊥bc→bc⊥面/cg厶。
…¨6分。bc⊥/c
……7分。取坞鸟的中点@,过点@作0fr⊥bd于点ⅳ, iⅰ∶∶t=∷∷
连接g@,qⅳ
q±鸟cl→cl@⊥鸽虽，面鸽鸟cl⊥面坞鸽bd→q@⊥面4bd¨……8分。
h⊥bd→qh亠bd得：点〃与点d重合。
接j此处汐可涯db⊥
d@g冫。…9分。
且zcld@是二面角厶一bd-g的平面角………1o分。
设/c=纪。
则g@≡孕。
gd=jl⊥2g¨zgd@=⒛
1分。即二面角坞。
解法二：由。
bd-g的。
…大小为3σ△2分。
1)知dcl⊥bc,ccl⊥
bc→bc⊥面/cg/l→bc⊥zc
……6分所以ca,cb,cc1两两垂直。
以c为坐标原点，g《所在的方向为ⅹ轴的正方向，设。
建立如图所示坐标系⒐xyz,……7分。
∠占。口丿处苞纟刀厂孑彦'蚝。
则/廴(1,0,2),卩(0,1pφ,dll,0,1),c1(0,0,2)故鸽d=⑩,0,-l,,bd=g,=1,1),dg=(-1,0,d设刀=←,y,z)是平面饿昆bd的一个法向量。即∶x^ˉ
l∶可取刀=g,1,oj‘炉`姥处。9分。
面g平〓是一嗣阴一取设可。一一。硎。
g2,1同理。
汇u分蛹=乎…叩筛。
s(瓦。……△2分由题知所求二面角为锐二面角，故所求二面角大小为30°。解洛。
吒分助∵瞽冁亻兢。设⒅铋。
姥刃凼可幻。
赇。工面角为h葺。
摹臂：∴∶扌蚤i
jⅱ面厶马g∩='n¨面坞马〃=坞鸟=/^冖。
一。7分故clⅱ⊥厶bl猁¨…¨
咖===器…沼则分。
saffd:吓。
4'晰t氵蚋ρ
sψjts蝴。彳。一一。
10分。羁。
嫘。0∷|畲。
嘎。沙吐绊。
=历-珲~乎~誓=竿。分。褥丁。
1一。褥。
拒。……10分。
解法四：(转化成两异面直线所成的角来做，略。
s叫∞=÷需=譬…故。
sα故所求二面角大小为300。bdc1分。
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