一．选择题（共6小题）
1．（2012上海）在下列代数式中，次数为3的单项式是（ ）
a． xy2 b． x3+y3 c． ．x3y d． ．3xy
考点：单项式。
解答：解：根据单项式的次数定义可知：
a、xy2的次数为3，符合题意；
b、x3+y3不是单项式，不符合题意；
c、x3y的次数为4，不符合题意；
d、3xy的次数为2，不符合题意．
故选a．2．（2012上海）数据5，7，5，8，6，13，5的中位数是（ ）
a． 5 b． 6 c． 7 d． 8
考点：中位数。
解答：解：将数据5，7，5，8，6，13，5按从小到大依次排列为：
5，5，5，6，7，8，13，位于中间位置的数为6．
故中位数为6．
故选b．3．（2012上海）不等式组的解集是（ ）
a． x＞﹣3 b． x＜﹣3 c． x＞2 d． x＜2
考点：解一元一次不等式组。
解答：解：，由①得：x＞﹣3，由②得：x＞2，所以不等式组的解集是x＞2．
故选c．4．（2012上海）在下列各式中，二次根式的有理化因式是（ ）
a． b． c． d．
考点：分母有理化。
解答：解：∵×a﹣b，二次根式的有理化因式是：．
故选：c．5．（2012上海）在下列图形中，为中心对称图形的是（ ）
a． 等腰梯形 b． 平行四边形 c． 正五边形 d． 等腰三角形。
考点：中心对称图形。
解答：解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，a、c、d都不符合；
是中心对称图形的只有b．
故选：b．6．（2012上海）如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（ ）
a． 外离 b． 相切 c． 相交 d． 内含。
考点：圆与圆的位置关系。
解答：解：∵两个圆的半径分别为6和2，圆心距为3，又∵6﹣2=4，4＞3，这两个圆的位置关系是内含．
故选：d．二．填空题（共12小题）
7．（2012上海）计算= ．
考点：绝对值；有理数的减法。
解答：解：|﹣1|=1﹣=，故答案为：．
8．因式分解：xy﹣x
考点：因式分解-提公因式法。
解答：解：xy﹣x=x（y﹣1）．
故答案为：x（y﹣1）．
9．（2012上海）已知正比例函数y=kx（k≠0），点（2，﹣3）在函数上，则y随x的增大而 （增大或减小）．
考点：正比例函数的性质；待定系数法求一次函数解析式。
解答：解：∵点（2，﹣3）在正比例函数y=kx（k≠0）上，2k=﹣3，解得：k=﹣，正比例函数解析式是：y=﹣x，k=﹣＜0，y随x的增大而减小，故答案为：减小．
10．方程的根是。
考点：无理方程。
解答：解：方程两边同时平方得：x+1=4，解得：x=3．
检验：x=3时，左边==2，则左边=右边．
故x=3是方程的解．
故答案是：x=3．
11．（2012上海）如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是。
考点：根的判别式。
解答：解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，△=6）2﹣4c＜0，即36﹣4c＜0，c＞9．
故答案为c＞9．
12．（2012上海）将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是。
考点：二次函数图象与几何变换。
解答：解：∵抛物线y=x2+x向下平移2个单位，抛物线的解析式为y=x2+x﹣2，故答案为y=x2+x﹣2．
13．（2012上海）布袋中装有3个红球和6个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是 ．
考点：概率公式。
解答：解：∵一个布袋里装有3个红球和6个白球，摸出一个球摸到红球的概率为：=．
故答案为．14．（2012上海）某校500名学生参加生命安全知识测试，测试分数均大于或等于60且小于100，分数段的频率分布情况如表所示（其中每个分数段可包括最小值，不包括最大值），结合表1的信息，可测得测试分数在80～90分数段的学生有名．
考点：频数（率）分布表。
解答：解：80～90分数段的频率为：1﹣0.2﹣0.25﹣0.25=0.3，故该分数段的人数为：500×0.3=150人．
故答案为：150．
15．（2012上海）如图，已知梯形abcd，ad∥bc，bc=2ad，如果，，那么= （用，表示）．
考点：*平面向量。
解答：解：∵梯形abcd，ad∥bc，bc=2ad，=2=2，=+2+．
故答案为：2+．
16．（2012上海）在△abc中，点d、e分别在ab、ac上，∠aed=∠b，如果ae=2，△ade的面积为4，四边形bcde的面积为5，那么ab的长为 ．
考点：相似三角形的判定与性质。
解答：解：∵∠aed=∠b，∠a是公共角，△ade∽△acb，△ade的面积为4，四边形bcde的面积为5，△abc的面积为9，ae=2，解得：ab=3．
故答案为：3．
17．（2012上海）我们把两个三角形的中心之间的距离叫做重心距，在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形，如果当它们的一边重合时，重心距为2，那么当它们的一对角成对顶角时，重心距为 ．
考点：三角形的重心；等边三角形的性质。
解答：解：设等边三角形的中线长为a，则其重心到对边的距离为：a，它们的一边重合时（图1），重心距为2，a=2，解得a=3，当它们的一对角成对顶角时（图2）中心距=a=×3=4．
故答案为：4．
18．（2012上海）如图，在rt△abc中，∠c=90°，∠a=30°，bc=1，点d在ac上，将△adb沿直线bd翻折后，将点a落在点e处，如果ad⊥ed，那么线段de的长为 ．
考点：翻折变换（折叠问题）。
解答：解：∵在rt△abc中，∠c=90°，∠a=30°，bc=1，ac===将△adb沿直线bd翻折后，将点a落在点e处，∠adb=∠edb，de=ad，ad⊥ed，∠cde=∠ade=90°，∠edb=∠adb==135°，∠cdb=∠edb﹣∠cde=135°﹣90°=45°，∠c=90°，∠cbd=∠cdb=45°，cd=bc=1，de=ad=ac﹣cd=﹣1．
故答案为：﹣1．
三．解答题（共7小题）
19．（2012上海）．
考点：二次根式的混合运算；分数指数幂；负整数指数幂。
解答：解：原式=
20．（2012上海）解方程：．
考点：解分式方程。
解答：解：方程的两边同乘（x+3）（x﹣3），得。
x（x﹣3）+6=x+3，整理，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3．
经检验：x=3是方程的增根，x=1是原方程的根，故原方程的根为x=1．
21．（2012上海）如图在rt△abc中，∠acb=90°，d是边ab的中点，be⊥cd，垂足为点e．己知ac=15，cosa=．
1）求线段cd的长；
2）求sin∠dbe的值．
考点：解直角三角形；直角三角形斜边上的中线。
解答：解：（1）∵ac=15，cosa=，=ab=25，△acb为直角三角形，d是边ab的中点，cd=（或12.5）；
2）ad=bd=cd=，设de=x，eb=y，则。
解得x=，sin∠dbe==．
22．（2012上海）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示．
1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量．
注：总成本=每吨的成本×生产数量）
考点：一次函数的应用。
解答：解：（1）利用图象设y关于x的函数解析式为y=kx+b，将（10，10）（50，6）代入解析式得：
解得：，y=﹣x+11（10≤x≤50）
2）当生产这种产品的总成本为280万元时，x（﹣x+11）=280，解得：x1=40，x2=70（不合题意舍去），故该产品的生产数量为40吨．
23．（2012上海）己知：如图，在菱形abcd中，点e、f分别在边bc、cd，∠baf=∠dae，ae与bd交于点g．
1）求证：be=df；
2）当=时，求证：四边形befg是平行四边形．
考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的性质。
解答：证明：（1）∵四边形abcd是菱形，ab=ad，∠abc=∠adf，∠baf=∠dae，∠baf﹣∠eaf=∠dae﹣∠eaf，即：∠bae=∠daf，△bae≌△daf
be=df；
2）∵=fg∥bc
∠dgf=∠dbc=∠bdc
df=gfbe=gf
四边形befg是平行四边形．
24．（2012上海）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点a（4，0）、b（﹣1，0），与y轴交于点c，点d**段oc上，od=t，点e在第二象限，∠ade=90°，tan∠dae=，ef⊥od，垂足为f．
1）求这个二次函数的解析式；
2）求线段ef、of的长（用含t的代数式表示）；
3）当∠eca=∠oac时，求t的值．
考点：相似三角形的判定与性质；待定系数法求二次函数解析式；全等三角形的判定与性质；勾股定理。
解答：解：（1）二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点a（4，0）、b（﹣1，0），，解得，这个二次函数的解析式为：y=﹣2x2+6x+8；
2）∵∠efd=∠eda=90°
∠def+∠edf=90°，∠edf+∠oda=90°，∴def=∠oda
△edf∽△dao
．，=ef=t．
同理，df=2，∴of=t﹣2．
3）∵抛物线的解析式为：y=﹣2x2+6x+8，c（0，8），oc=8．
如图，连接ec、ac，过a作ec的垂线交ce于g点．
∠eca=∠oac，∴∠oac=∠gca（等角的余角相等）；
在△cag与△oca中，△cag≌△oca，∴cg=4，ag=oc=8．
2023年上海市中考数学试卷
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