2011—2023年江苏省南菁高级中学假期作业。
平面向量部分。
一。填空题(本大题包括14个小题)
1.设，，且，则锐角为
是△abc所在平面上一点，若，则p是△abc的垂心
3.设是非零向量，若函数f（x）=(x+b)·(xb)的图象是一条直线，则 ⊥ b
4.设点，,若点在直线上且，则点的坐标为（1，-1）
5．已知△abc中，ab=，ac=1 ∠b=30° 则△abc面积为
6．给出下面四个命题：其中错误的命题个数为 2
对于任意向量a、b，都有|a·b|≥a·b成立；
对于任意向量a、b，若a2=b2，则a=b或a= -b；
对于任意向量a、b、c，都有a·(b·c)=(b·c)·a成立；
对于任意向量a、b、c，都有a·(b·c)=(b·a)·c成立。
7.在平行四边形abcd中，e、f分别是bc、cd的中点，de交af于h，记分别为a、b，则用a、b表示）
8.已知△abc的周长为9，且，则cosc的值为-0.25
9.设平面上有4个互异的点a、b、c、d，已知，则△abc的形状是等腰三角形
10. （r）是两个向量集合，则等于 ｛（13，-23）｝
11.设平面向量、、的和++=0. 如果向量b1、b2、b3满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则b1+b2+b3
12.已知|p|=2,|q|=3,p、q的夹角为，如下图所示，若 =5p+2q,=p－3q，且d为bc的中点则的长度为 7.5
13.与向量=(12,5)平行的单位向量为 (,或(－,
14.非零向量=、=若点b关于所在直线的对称点为b1,则向量为。
15.把函数的图象按向量a平移后，得到的图象，且a⊥b,c=(1,-1),b·c=4,则b= (3,-1)
二、解答题（本大题共6个小题，解答时必须写出必要的证明或计算过程）
16. 已知，，且与夹角为120°求：
与的夹角。解：由题意可得，1）；
3）设与的夹角为，则，又，所以，与的夹角为。
17.已知，当为何值时，1）与垂直？
2）与平行？平行时它们是同向还是反向？
解：，1），得；
2），得，此时，所以方向相反。
18. 已知、是两个非零向量，当+t（t∈r）的模取最小值时，1）求t的值；
2）求证：⊥（t）
解： （1）解：设与b的夹角为θ，则|+t|2=（+t）2=||2+t2||2+2·（t）
|2+t2|2+2t|||cosθ=|2（t+cosθ）2+||2sin2θ，所以当t=－cosθ=－时，|+t|有最小值。
2）证明：因为·（+t0，所以⊥（⊥t）
19. 已知=，=设是直线上一点，是坐标原点，1) 求使取最小值时的；
2) 对（1）中的点，求的余弦值。
解： （1）设，则，由题意可知又。
所以即，所以，则，当时，取得最小值，此时，即。
2）因为。20.已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系用表示。
1）证明：对于任意向量a,b及常数m,n恒有成立。
2）设a=(1,1),b=(1,0)求向量及的坐标。
3）求使(p,q为常数）的向量c的坐标。
解：（1）设向量a=，b=,则ma+nb=，由，得，而∴对于任意向量a,b及常数m,n恒有成立。
2）∵ a=(1,1),b=(1,0)， 3）设c=(x,y)，由得，∴ c=。
21. 已知向量满足，且，令。
⑴求（用表示）；
⑵当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围。
解：⑴由题设得，对两边平方得。
展开整理易得 。
⑵由函数的单调性知函数的最小值为。
欲使对任意的恒成立，等价于，即在上恒成立，而在上为单调函数或常函数，所以解得。
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