震泽中学2010级高二暑假数学补充作业（6）
1、若（为虚数单位），则的虚部是
2、已知，是平面内的两条直线，则“直线”是“直线，直线”的。
条件。3、若直线的斜率为，在轴上的截距为1，则
4、已知符号函数，则函数的零点个数为
5、已知变量满足约束条件，若目标函数仅在点处取到最大值，则实数的取值范围为。
6、（理科做）“”含有数字，且有两个数字2．则含有数字，且有两个相同数字的四位数的个数为。
7、已知抛物线的准线与双曲线相切，则双曲线的离心率
8、（理科做）若等比数列的第项是二项式展开式的常数项，则
9、（理科做）点到曲线上的点的最短距离为
10、已知函数，（其中），其部分图像如图5所示．
1）求函数的解析式；
2）已知横坐标分别为、、的三点、、都在函数的图像上，求。
11、如图6，平行四边形中，，，沿将折起，使二面角是大小为锐角的二面角，设在平面上的射影为．
1）当为何值时，三棱锥的体积最大？最大值为多少？
2）当时，求的大小．
12、如图7，已知椭圆：的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆：，设圆与椭圆交于点与点．
1）求椭圆的方程；
2）求的最小值，并求此时圆的方程；
3）设点是椭圆上异于的任意一点，且直线分别与轴交于点，为坐标原点，求证：为定值．
13、已知数列满足：，（其中为自然对数的底数）．
1）求数列的通项；
2）设，，求证：，．
14、已知函数，设曲线在与轴交点处的切线为，为的导函数，满足．
1）求；2）设，，求函数在上的最大值；
3）设，若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围．
震泽中学2010级高二暑假数学补充作业（6）
1、若（为虚数单位），则的虚部是1
2、已知，是平面内的两条直线，则“直线”是“直线，直线”的充分不必要条件。
3、已知直线的斜率为，在轴上的截距为1，则1
4、已知符号函数，则函数的零点个数为2
5、已知变量满足约束条件，若目标函数仅在点处取到最大值，则实数的取值范围为。
6、“”含有数字，且有两个数字2．则含有数字，且有两个相同数字的四位数的个数为24
7、已知抛物线的准线与双曲线相切，则双曲线的离心率。
8、（理科做）已知等比数列的第项是二项式展开式的常数项，则。
9、（理科做）在极坐标系中，点到曲线上的点的最短距离为。
10、已知函数，（其中），其部分图像如图5所示．
1）求函数的解析式；
2）已知横坐标分别为、、的三点、、都在函数的图像上，求的值．
解：（1）由图可知， ，最小正周期所以
又，且 所以， 所以．
2) 解法一： 因为。
所以， 从而，
由，得。解法二： 因为。所以，
则。 由，得。
11、如图6，平行四边形中，，，沿将折起，使二面角是大小为锐角的二面角，设在平面上的射影为．
1）当为何值时，三棱锥的体积最大？最大值为多少？
2）当时，求的大小．
解：（1）由题知为在平面上的射影，，平面。
当且仅当，即时取等号，当时，三棱锥的体积最大，最大值为．
2)(法一)连接，平面，平面，∴，故，，∴
在中，，得．
12、如图7，已知椭圆：的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆：，设圆与椭圆交于点与点．
1）求椭圆的方程；
2）求的最小值，并求此时圆的方程；
3）设点是椭圆上异于的任意一点，且直线分别与轴交于点，为坐标原点，求证：为定值．
解：（1）依题意，得，故椭圆的方程为．
2）方法一：点与点关于轴对称，设，， 不妨设．
由于点在椭圆上，所以。
由已知，则，
由于，故当时，取得最小值为．
由（*）式，，故，又点在圆上，代入圆的方程得到．
故圆的方程为：．
方法二：点与点关于轴对称，故设，不妨设，由已知，则。
故当时，取得最小值为，此时，又点在圆上，代入圆的方程得到．
故圆的方程为：．
3) 方法一：设，则直线的方程为：，令，得， 同理：，故。
又点与点在椭圆上，故，代入（**式，得：
所以为定值．
方法二：设，不妨设，，其中．则直线的方程为：，令，得，同理：，故．
所以为定值．
13、已知数列满足：，（其中为自然对数的底数）．
1）求数列的通项；
2）设，，求证：，．
解：（1），即．
令，则，因此，数列是首项为，公差为的等差数列．
2）（方法一）先证明当时，．
设，则，当时，在上是增函数，则当时，，即．
因此，当时，当时，，．
注：理科生可以用数学归纳法证明（2）
14、已知函数，设曲线在与轴交点处的切线为，为的导函数，满足．
1）求；2）设，，求函数在上的最大值；
3）设，若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围．
解：（1），函数的图像关于直线对称，则．
直线与轴的交点为，且，即，且，解得，．
则． 2），其图像如图所示．
当时，，根据图像得：
ⅰ）当时，最大值为；
ⅱ）当时，最大值为；
ⅲ）当时，最大值为．
3）方法一：，当时，不等式恒成立等价于且恒成立，由恒成立，得恒成立，当时，，，
又当时，由恒成立，得，因此，实数的取值范围是．
方法二：（数形结合法）作出函数的图像，其图像为线段（如图），的图像过点时，或，要使不等式对恒成立，必须，又当函数有意义时，当时，由恒成立，得，因此，实数的取值范围是．
方法三：，的定义域是，要使恒有意义，必须恒成立，，即或。
由得，即对恒成立，令，的对称轴为，则有或或。
解得。综合①、②实数的取值范围是．
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