寒假作业1答案

江苏省通州高级中学2014-2015学年度第一学期高二数学寒假作业一。

命题：高二数学备课组审核：严东来。

一．填空题：

1．直线的倾斜角是。

答案】2．命题“”的否定是．

答案】3．设变量满足约束条件：，则的取值范围为。

4．观察下面的算式：则其中）．

答案】．5．直线与圆相交于（其中为实数）,且（是坐标原点）,则点与点之间距离的最大值为___

答案】解析】由已知得是等边三角形，6．过圆内一点作两条相互垂直的弦，当时，四边形的面积为 .

答案】7．已知三角形的三个顶点为a（2，﹣1，4），b（3，2，﹣6），c（5，0，2），则bc边上的中线长为．

答案】28．若一个球的体积为4π，则它内接正方体的表面积是___

答案】249．设l是一条直线，α，是不同的平面，则在下列命题中，假命题是___

如果α⊥β那么α内一定存在直线平行于β

如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β

如果l，那么l⊥γ

如果α⊥βl与α，β都相交，那么l与α，β所成的角互余。

答案】④10．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是___

答案】411．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为．

答案】 12．椭圆＝1的两焦点为f1、f2，一直线过f1交椭圆于p、q，则△pqf2的周长为___

答案】2013．f1，f2是椭圆＋y2＝1的左右焦点，点p在椭圆上运动．则的最大值是___

答案】114．椭圆＝1(a>b>0)的右焦点f，其右准线与x轴的交点为a，在椭圆上存在点p满足线段ap的垂直平分线过点f，则椭圆离心率的取值范围是___

答案】≤e<1.

二．解答题：

15．已知命题方程在上有解；命题不等式恒成立，若命题“”是假命题，求的取值范围．

试题解析：若正确，易知。

的解为或 2分。

若方程在上有解，只需满足或 4分。

即6分。若正确，即不等式恒成立，则有即。

得9分。若“或”是假命题，则都是假命题。

有12分。所以的取值范围是13分。

16．如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．

1）求证：；

2）若平面与平面的交线为，求证：．

试题解析：1）连接ac，交bd于点o，连接po．

因为四边形abcd为菱形，所以 2分。

又因为，o为bd的中点，

所以4分。又因为

所以，又因为

所以7分。2）因为四边形abcd为菱形，所以9分。

因为．所以11分。

又因为，平面平面．

所以14分。

17．如图，菱形的边长为2，为正三角形，现将沿向上折起，折起后的点记为，且，连接．

1）若为的中点，证明：平面；

2）求三棱锥的体积．

试题解析：（1）如图，连接，交于点，连接、，为菱形，∴为中点。

又∵为的中点，∴，又平面，平面，平面。

2）在内，过作于，在菱形中，又沿折起， ∴

∴平面，∴，又，∴平面．，∴

18．（本题满分15分）

如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为。

点在边所在直线上．

1）求边所在直线的方程；

2）求矩形外接圆的方程。

3）若动圆过点，且与矩形。

的外接圆外切，求动圆的圆心的方程．

18．解：（1）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为．．

2）由解得点的坐标为。

因为矩形两条对角线的交点为．

所以为矩形外接圆的圆心。

又．从而矩形外接圆的方程为．

3）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，所以，即．

故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．

因为实半轴长，半焦距．

所以虚半轴长．

从而动圆的圆心的轨迹方程为．

19．用数学归纳法证明：对任意n∈n＋，成立．

解析】(1)当n＝1时，左边＝，右边＝，因为》，所以不等式成立．

2)假设当n＝k时不等式成立，即……成立，则当n＝k＋1时，左边＝

所以当n＝k＋1时，不等式也成立，由(1)，(2)可得不等式恒成立．

20．如图；.已知椭圆c:的离心率为，以椭圆的左顶点t为圆心作圆t:设圆t与椭圆c交于点m、n.

1）求椭圆c的方程；

2）求的最小值，并求此时圆t的方程；

3）设点p是椭圆c 上异于m，n的任意一点，且直线mp，np分别与轴交于点r，s，o为坐标原点。试问；是否存在使最大的点p，若存在求出p点的坐标，若不存在说明理由。

解：（1）由题意知解之得；，由得b=1，故椭圆c方程为；.3分。

2）点m与点n关于轴对称，设，不妨设，由于点m在椭圆c上， ,由已知。

..6分由于故当时，取得最小值为，当时，故又点m在圆t上，代入圆的方程得，故圆t的方程为：；.8分。

3）假设存在满足条件的点p,设，则直线mp的方程为：

令，得，同理，故；..10分。

又点m与点p在椭圆上，故，得，为定值，.12分。

==,由p为椭圆上的一点，要使最大，只要最大，而的最大值为1,故满足条件的p点存在其坐标为．..14分。

21．如图，在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在棱上，且满足。

1）求证：；

2）在棱上确定一点，使、、、四点共面，并求此时的长；

3）求平面与平面所成二面角的余弦值。

试题解析：（1）如下图所示，连接，由于为正方体，所以四边形为正方形，所以，且平面，平面，平面，；

2）如下图所示，假设、、、四点共面，则、、、四点确定平面，由于为正方体，所以平面平面，平面平面，平面平面，由平面与平面平行的判定定理得，同理可得，因此四边形为平行四边形，在中，由勾股定理得，在直角梯形中，下底，直角腰，斜腰，由勾股定理可得，结合图形可知，解得；

在中，所以，即，因为，空间向量法：

1）证明：以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、所以，，因为，所以，所以；

2）设，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，所以存在实数，使得，因为，，所以，所以，，所以，故当时，、、四点共面；

3）由（1）知，设是平面的法向量，则，即，取，则，，所以是平面的一个法向量，而是平面的一个法向量，设平面与平面所成的二面角为，则，故平面与平面所成二面角的余弦值为；

第（1）、（2）问用推理论证法，第（3）问用空间向量法，1）、（2）给分同推理论证法。

3）以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、则，设是平面的法向量，则，即，取，则，，所以是平面的一个法向量，而是平面的一个法向量，设平面与平面所成的二面角为，则，故平面与平面所成二面角的余弦值为；

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