离散数学作业题。
第一章命题逻辑
p38 习题一（1）（3）（5）
补充题：将pq化成与之等价的并仅含联结词的公式。
第二章谓词逻辑。
p70 习题二（4）
补充题：1. 谓词符号化：
1) 所有的鱼都生活在水中。
2) 没有大于2的偶素数。
3) 并不是每个人都聪明。
2. 设个体域d=，将一阶公式(x)(f(x)→(y)g(y))中的量词消除。
3. 设个体域为整数集，令p(x,y)：x+y=1；q(x,y)：xy>0，试求解下列命题的真假。
1) (x) (y)p(x,y).
2) (x) (y)q(x,y).
4. 求前束范式：
1) (x)f(x)(x)r(x).
2) (x)p(x)∨(y)q(y))(x)r(x).
5. 证明：
前提：(x)(a(x) b(x)∧c(x))，x)(a(x)∧d(x))
结论：(x)(c(x)∧d(x))
6. 所有的整数均为有理数并且为实数，存在是整数又是奇数的数，因而存在是奇数又是实数的数。
写出上面推理的证明。(用谓词逻辑，写出用谓词表示的前提、结论和证明过程)
第三章集合、关系与映射。
p133 习题三
补充题。1. ab，a∈b能否同时成立，说明原因
求集合a＝}的幂集
2. 证明：若bc，则p(b) p(c)
3. 如果a∪b=a∪c，是否有b=c？
如果a⊕b=a⊕c，是否有b=c？
4. 试求1到10000之间不能被4，5或6整除的整数个数。
5. 列出所有从a=到b=的关系，并指出集合a上的恒等关系和从a到b的全域关系。
5. 给出a上的关系及其关系图和矩阵表示。 a=
6. 已知s=. r =.试写出关系r.
7. 已知： a=, r=该关系具有什么性质？
(自反，反自反，对称，反对称，传递性)
8. 设a=,r= 计算：r(r)，sr(r)，tr(r)，str(r).
9. 设a是含有4个元素的集合，试求：
(1)在a上可以定义多少种对称关系？
(2)在a上可以定义多少种既是自反的，又是对称的关系？
3)在a上可以定义多少种既不是自反的，也不是反自反的二元关系？
10. 设集合a=. r= ，s=.
试求：rs，rr，(rs)r，r(sr).
11. 证明：r是a上的传递关系rrr.
12. a=,r=，试问r是否是a上的等价关系？如果是，求出r的各等价类。
13. a=,a上的划分∏=,给出由∏所诱导出的a上的等价关系r的集合表达式。
14. 试给出一个单射但非满射的函数。(对某一集合而言)
15. 设f：n→n×n，f(n)=,则：
(1)说明f是否为单射和满射，并说明理由。
(2) f的反函数是否存在？并说明理由。
(3)求ranf.
16. 已知如果从无限集合a到集合b存在单射f，则b也是无限集合。
设x是无限集合，集合y≠φ，证明：x与y的笛卡儿积x×y是无限集合。
第六章代数结构。
p247 习题六
补充题：1. 以下集合和运算是否构成代数系统？如果构成，说明该系统是否满足结合律、交换律？求出该运算的幺元、零元和所有可逆元素的逆元。
1) p(b)关于对称差运算⊕，其中p(b)为幂集。
2) a=，*运算如下表所示：
2. 设集合a=，那么（1）在a上可以定义多少不同的二元运算？（2）在a上可以定义多少不同的具有交换律的二元运算？
3. 设a=,b是a上的等价关系的集合。
1) 列出b的元素。
2) 给出代数系统v=的运算表。
3) 求出v的幺元、零元和所有可逆元素的逆元。
4) 说明v是否为半群、独异点和群？
4. 设a=，构造a上的二元运算*，使得a*b=c,c*b=b，且*运算满足幂等律、交换律。
1) 给出关于*运算的一个运算表。
其中表中？位置可以是a、b、c。
2) *运算是否满足结合律，为什么？
5. 设是一个代数系统。
是r上的一个二元运算，使得对于r(实数集合)中的任意元素a,b都有a*b=a+b+a·b(·和+为数集上的乘法和加法).
证明：: 是独异点。
6. 如果是半群，且*是可交换的。
证明：如果s中有元素a,b,使得a*a=a和b*b=b，则(a*b)*(a*b)=a*b.
7. 设是一个群，则a,b,c∈s。 试证明： 群g中具有消去律，即成立： 如果a·b=a·c ,b·a=c·a 那么b=c.
8. 设是群，a∈g .
现定义一种新的二元运算⊙：x⊙y=x*a*y，x,y∈g .
证明：也是群 .
9. 试写出模6加法群的每个子群及其相应的左陪集。
的运算表如下所示：
10. 设a=.
1) a关于整除关系是否构成偏序集？
2) 如果构成偏序集合，画出其对应的哈斯图。
3) 如果构成偏序集，该偏序集合构成哪种格？ (分配格、有界格、有补格、布尔格).
第七题图论。
p295 习题七
补充题：1. 是否存在7阶无向简单图g，其度序列为.给出相应证明。
2. 求下图的补图。
3. 1）试画一个具有5个顶点的自补图
2） 是否存在具有6个顶点的自补图，试说明理由。
4. 设图g为n(n>2且为奇数)阶无向简单图，证明：g与g的补图中奇度顶点个数相等。
5. 无向图g中只有2个奇度顶点u和v，u与v是否一定连通。给出说明或证明。
6. 图g如下图所示：
1) 写出上图的一个生成子图。（不唯一）
2) δg)，κg)，λg).
3) 说明：δ(g)=min ；κg)=min ； g)=min
7. 在什么条件下无向完全图kn为欧拉图？
8. 证明：有割边的图不是欧拉图。
9. 证明：有割边的图不是哈密尔顿图。
10. 树t有2个4度顶点，3个3度顶点，其余顶点全为树叶，问t有几片树叶？
11. 给出全部互不同构的4阶简单无向图的平面图形。
12. 如果g是平面图， 有n个顶点、m条边、f个面，g有k个连通分支。试利用欧拉公式证明：：n-m+f=k+1.
离散数学作业
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