一、设（g，· 是一个交换群，h是由g中所有周期是有限的元素构成的集合，证：（h，·）是（g，·）的正规子群。
证：由题意可知h是非空的，且1的周期有限所以1∈h。
设a,b∈h，可得周期有限，且， ,的周期有限。
故（h，·）是（g，·）的子群 ，有因为（g，·）是一个交换群，所以由交换群的子群是正规子群可得：（h，·）是（g，·）的正规子群
二、设是一个分配格，，令，对任意，证明：是到自身的格同态映射。
证明： 任，取x,y∈s 且已知是一个分配格。
是到自身的格同态映射。
三、设（a，+，是一个交换环，如果它是无零因子的，它就是一个整环。试证明无零因子这个条件等价于如下的饿条件： 对于如果，则必有（乘法消去律）
证明：任取 a,b,c∈a
如果对于有，即得。
又该环是无零因子的。
即。乘法消去律成立。
设。由乘法消去律得。
不存在 无零因子条件成立。
四、 已知，为模7乘法。试说明是否构成群？是否为循环群？若是，生成元是什么？
解综上所述， 构成群 ； 由，，，所以，3为其生成元，3的逆元5也为其生成元。故为循环群。
五、设（i,+）和（，·是两个代数系统，证明：对于任意的
1 n为偶数这个从i到的映射是从（i，+）到。
1，-1}，·的一个同态映射，这里+和·
1 n为奇数分别是普通加法和乘法运算。
证明：对于任意的n的奇偶性唯一确定。
由f的定义可得 f是（i，+）到（，·的一个映射。
又任取。f是（i，+）到（，·的一个同态映射。
六、设（g，·）是一个群，f是g到g的一个单一同态，对于任一。
试证明（g，·）是阿贝尔群（交换群）。
证明：任取。
由已知f是g到g的一个单一同态。
由式得。又f是单射。
是阿贝尔群。
七、对代数系统，*是a上二元运算，1为a的单位元，如果*是可结合的且每个元素都有右逆元，则：
1）中的每个元素的右逆元必定也是左逆元。
2）每个元素的逆元是唯一的。
证明：⑴ 设，b是a的右逆元，c是b的右逆元。
b是a的左逆元。即 中每个元素的右逆元必定是左逆元。
⑵ 设元素a有两个逆元b、c
a的逆元是唯一的
即每个元素的逆元是唯一的。
八、试证明若是群，，且任意的，对每一个，有，则是的子群。
证明：（1）设群<>的单位元为1
有，∴即h非空。
（2），则有
是的子群。九、证明任一环的同态象也是一环。
证明： 设是一环，且是关于同态映射f的同态象。
由是阿贝尔群，可得也是阿贝尔群。
且由是半群，可得也是半群。
取 又同理可得
此也是环。十、mi是i的极大理想m是质数。
证明： 往证mi是i的理想，则从加法角度看，mi一定是i的子群，由lagrange定理得。
又m是质数，mi只能是（0）或mi
i/mi=。i/mi是一个单纯环。
由定理6.6.7可得mi是i的极大理想。
假设m不是质数，则存在ai,miai,所以mi不是i的极大理想，与假设相矛盾，不成立。
故mi是i的极大理想得m是质数。
软件09级。丰霜。
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