一、选择题：（每小题5分，共40分）
1．若集合则b的子集的个数为（ b ）
a．2 b．4 c．6 d．8
2．设复数在（ c ）
a．第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限。
3. 已知等差数列中，，则的值是 （ a ）
a．15 b．30 c．31 d．64
4．已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么不等式的解集为 (c )
a． b．
c． d．
5.对任意实数x,不等式恒成立，则的取值范围是（c ）
a. b. c. d.
6．已知k为实数，若双曲线的焦距与k的取值无关，则k的取值范围为（ a ）
a． b． c． d．
7.为了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：
根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是 （ c ）
a．20b．30c．40d．50
8．若函数f(x)=x3+ax2+bx+c，x∈[－2，2]表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线的斜率为－1，有以下命题。
（1）f(x)的解析式为：f(x)=x3－4x，x∈[-2，2]
（2）f(x)的极值点有且仅有一个。
（3）f(x)的最大值与最小值之和等于零。
其中假命题个数为（b ）
a．0个 b．1个 c．2个 d．3个。
二、填空题：（每小题5分，共30分）
9．已知展开式中第4项为常数项，则展开式的各项的系数和为
10.奇函数处取得极值，则的值为 0 ;
11.已知变量，满足约束条件。若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围为。
12.半径为r的圆的面积s(r)＝r2,周长c(r)=2r，若将r看作(0，＋∞上的变量，则。
r2)`＝2r ，式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为r的球，若将r看作(0，＋∞上的变量，请你写出类似于的式子：（ r3）`＝4r2;
式可以用语言叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数。
13.在r上定义运算：，若不等式对任意实数x都成立，则实数a的取值范围 .
14．地区的一种特色水果上市时间仅能持续5个月，**上市初期和后期会因供不应求使**呈连续**态势，而中期又将出现供大于求使**连续**，现有三种**模拟函数。 f(x)=p·q; f(x)=px2+qx+1; f(x)=x(x-q)2+p.
（以上三式中p、q均为常数，且q＞1，x=0表示4月1日，x=1表示5月1日，依次类推）.
（1）为准确研究其**走势，应选___种**模拟函数。（3）
（2）若f(0)=4，f(2)=6，**该果品在___月份内****。（5月、6月）
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（12分）
设函数。（ⅰ）求的最小正周期；
（ⅱ）在△abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边，
求b，c的长。
解（ⅰ）（ⅱ）f (a) =2， 即
∴b2 + c2－bc = 3 ①
又b2 + c2 + 2bc = 9 ②
bc = 2 ③
b + c = 3 ④
b > c
解③④⑤得
16．（12分）有a，b，c，d四个城市，它们都有一个著名的旅游点依此记为a，b，c，d把a,b,ｃ,和a,b,c,d分别写成左、右两列，现在一名旅游爱好者随机用4条线把左右全部连接起来，构成“一一对应”，已知连对的得2分，连错的得0分；
（1）求该爱好者得分的分布列；
（2）求所得分的数学期望？
解。设答对题的个数为y，得分为。
y=0，1，2，4 ∴=0，2，4，8
则的分布列为。
（2）e=答：该人得分的期望为2分。
17.（14分）如图，四棱锥p—abcd的底面是ab=2，bc=的矩形，侧面pab是等边三角形，且侧面pab⊥底面abcd
（i）证明：侧面pab⊥侧面pbc；
（ii）求侧棱pc与底面abcd所成的角；
（iii）求直线ab与平面pcd的距离．
法一、（i）证明：在矩形abcd中，bc⊥ab
又∵面pab⊥底面abcd侧面pab∩底面abcd=ab
∴bc⊥侧面pab 又∵bc侧面pbc
∴侧面pab⊥侧面pbc）
（ii）解：取ab中点e，连结pe、ce
又∵△pab是等边三角形 ∴pe⊥ab
又∵侧面pab⊥底面abcd，∴pe⊥面abcd
∴∠pce为侧棱pc与底面abcd所成角。
在rt△pec中，∠pce=45°为所求。
（ⅲ）解：在矩形abcd中，ab//cd
∵cd侧面pcd，ab侧面pcd，∴ab//侧面pcd
取cd中点f，连ef、pf，则ef⊥ab
又∵pe⊥ab ∴ab⊥平面pef 又∵ab//cd
∴cd⊥平面pef ∴平面pcd⊥平面pef
作eg⊥pf，垂足为g，则ec⊥平面pcd
在rt△pef中，eg=为所求。
法二、（坐标法略）
18. （14分）
设sn是正项数列的前n项和，且，（ⅰ求数列的通项公式；
（ⅱ）的值。
解（ⅰ）n = 1时，解出a1 = 3
又4sn = an2 + 2an－3 ①
4sn－1 = 2an－3 (n≥2) ②
4an = an2－+ 2an－2an－1即。
是以3为首项，2为公差之等差数列。
又 ④19. （14分）
已知两点a（－2，0），b（2，0），动点p在y轴上的射影是h，且。
（ⅰ）求动点p的轨迹c的方程（6分）
（ⅱ）已知过点b的直线l交曲线c于x轴下方不同的两点m，n，求直线l的斜率的取值范围（6分）
解（ⅰ）设。
（ⅱ）1）若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x = 2，它与曲线c在x轴下方的部分只有一个交点。
（2）若直线l的斜率为0，则直线l是x轴，它与曲线c无交点，所以，以上两种情形与题设不符。
（3）设直线l之方程为y = k (x－2) (k≠0)
联立消去x得。
设m (x1，y1)，n (x2，y2)
则m，n在x轴下方。
解出 20．(14分)已知函数的定义域为r，对任意的都满足，当时，.
（1）判断并证明的单调性和奇偶性。
（2）是否存在这样的实数m，当时，使不等式。
对所有恒成立，如存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。
解：（1）令。
有。即为奇函数。
在r上任取，由题意知。
则。故是增函数。
（2）要使。
只须。又由为单调增函数有。
令。原命题等价于恒成立。
令上为减函数，时，原命题成立。
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