一、选择题（共12小题；共60分）
1. 已知集合，，则中所含元素的个数为
a. b. c. d.
2. 将名教师， 名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有
a. 种 b. 种 c. 种 d. 种。
3. 下面是关于复数的四个命题：
的共轭复数为；
的虚部为．其中的真命题为
a. b. c. d.
4. 设， 是椭圆的左、右焦点， 为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则的离心率为
a. b. c. d.
5. 已知为等比数列，，，则
a. b. c. d.
6. 如果执行下面的程序框图，输入正整数和实数，输出，，则
a. 为的和。
b. 为的算术平均数。
c. 和分别是中最大的数和最小的数。
d. 和分别是中最小的数和最大的数。
7. 如图，网格上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为
a. b. c. d.
8. 等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上， 与抛物线的准线交于， 两点，，则的实轴长为
a. b. c. d.
9. 已知，函数在单调递减．则的取值范围是
a. b. c. d.
10. 已知函数，则的图象大致为
a. b.
c. d.
11. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上， 是边长为的正三角形， 为球的直径，且，则此棱锥的体积为
a. b. c. d.
12. 设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为
a. b. c. d.
二、填空题（共4小题；共20分）
13. 已知向量夹角为，且，，则。
14. 设， 满足约束条件则的取值范围为。
15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件或元件正常工作，且元件正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过小时的概率为。
16. 数列满足，则的前项和为。
三、解答题（共8小题；共104分）
17. 已知，， 分别为三个内角，， 的对边，．
1）求；2）若， 的面积为，求，．
18. 某花店每天以每枝元的**从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的****，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式；
2）花店记录了天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
以天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（ⅰ）若花店一天购进枝玫瑰花， 表示当天的利润（单位：元），求的分布列、数学期望及方差；
（ⅱ）若花店计划一天购进枝或枝玫瑰花，你认为应购进枝还是枝？请说明理由．
19. 如图，直三棱柱中，， 是棱的中点，．
1）证明：；
2）求二面角的大小．
20. 设抛物线的焦点为，准线为， 为上一点，已知以为圆心， 为半径的圆交于， 两点．
1）若， 的面积为，求的值及圆的方程；
2）若，， 三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到， 距离的比值．
21. 已知函数满足．
1）求的解析式及单调区间；
2）若，求的最大值．
22. 如图，， 分别为边， 的中点，直线交的外接圆于， 两点．若，证明：
23. 已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，正方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的极坐标为．
1）求点的直角坐标；
2）设为上任意一点，求的取值范围．
24. 已知函数．
1）当时，求不等式的解集；
2）若的解集包含，求的取值范围．
第一部分。1. d
2. a 【解析】据题意先将名学生分成个小组，共有种分组方法，然后将名教师分到两个小组中，共有种分组方法，将两组安排到甲、乙两地参加社会实践活动，故共有种安排方案．
3. c 【解析】由于，故。
因此为假命题；又。
故为真命题；
的共轭复数为，故为假命题； 的虚部为，故为真命题，综上可知命题为真命题．
4. c 【解析】设交轴于点．
因为是底角为的等腰三角形，所以，，且，因为为直线上一点，所以，解之得，所以椭圆的离心率为．
5. d 解析】因为为等比数列，所以，又，所以， 或，．
若，，解得，，；
若，，解得，，仍有．
6. c 7. b
8. c 【解析】设等轴双曲线方程为．由抛物线方程知其准线方程为，据题意知双曲线被直线截得的弦长，将直线与双曲线方程联立得。
因此。解得，故实轴长为．
9. a 【解析】由于在单调递减，所以的最小正周期，所以．当时，，由于在单调递减，所以，解得．
10. b
解析】用特殊值法：取，得；取，得．结合图象可选出答案．
11. a 【解析】如图，据题意得。
故。因此顶点到底面的距离为。
故。12. b 【解析】由于函数与互为反函数，其图象关于直线对称，故的最小值可转化为图象上点到直线距离最小值的倍，设与平行的直线与相切时切点为，由导数的几何意义可得。
解得，代入得。
故，此时点到直线距离最小，因此。第二部分。
解析】因为，平方得。即。解得。
解析】由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最大为，当直线经过点时，直线截距最大，此时最小，此时，所以，即的取值范围是．
解析】由题意知每个电子元件的使用寿命超过小时的概率均为，元件或元件正常工作的概率为，所以该部件的使用寿命超过小时的概率为．
解析】由递推公式，得
从而 由此，从第一项开始，依次取个相邻奇数项的和都等于，从第二项开始，依次取个相邻偶数项的和构成以为首项，以为公差的等差数列．
数列的前项和为
第三部分。17. （1） 由，及正弦定理得。
因为，所以。
由于，所以。
又，故．2） 的面积。
故．而。故。
解得．18. （1） 当日需求量时，利润．
当日需求量时，利润．
所以关于的函数解析式为。
2） （可能的取值为，，，并且。
的分布列为。
的数学期望为。
的方差为。ⅱ）答案一：花店一天应购进枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进枝玫瑰花， 表示当天的利润（单位：元），那么的分布列为。
的数学期望为。
的方差为。由以上的计算结果可以看出，，即购进枝玫瑰花时利润波动相对较小．
另外，虽然，但两者相差不大．故花店一天应购进枝玫瑰花．
答案二：花店一天应购进枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进枝玫瑰花， 表示当天的利润（单位：元），那么的分布列为。
的数学期望为。
由以上的计算结果可以看出，，即购进枝玫瑰花时的平均利润大于购进枝时的平均利润．
故花店一天应购进枝玫瑰花．
19. （1） 由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于为的中点，故．
又，可得。所以．而。
所以平面．又平面，故．
2） 由（1）知，且，则平面，所以，， 两两相互垂直．
以为坐标原点， 的方向为轴的正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意知，，，则。
设是平面的法向量，则。
即。可取．同理，设是平面的法向量，则。
即。可取．从而。
故二面角的大小为．
20. （1） 由已知可得为等腰直角三角形，圆的半径．
由抛物线定义可知到的距离．
因为的面积为，所以。
即。解得，所以，圆的方程为。
2） 因为，， 三点在同一直线上，所以为圆的直径，．由抛物线定义知。
所以， 的斜率为或．
当的斜率为时，由已知可设，代入得。
由于与只有一个公共点，故。
解得．因为在轴上的截距，，所以坐标原点到， 距离的比值为．
当的斜率为时，由图形对称性可知，坐标原点到， 距离的比值也为．
21. （1） 由已知得。
所以。即，又，所以，从而。
由于，故当时，；
当时，从而在上单调递减，在上单调递增．
2） 由已知条件得
ⅰ）若，则对任意实数，当，且时，可得，因此①式不成立．
ⅱ）若，①式恒成立时，，此时．
ⅲ）若，设，则．
当时，；当时，．
从而在上单调递减，在上单调递增．
故有最小值。
所以。等价于。因此。设。
则。时，， 时，所以在上单调递增，在上单调递减，故在处取得最大值．从而，即。
当， 时，②式等号成立，故。
综合得， 的最大值为．
22. （1） 因为， 分别为， 的中点，所以．
又已知，故四边形是平行四边形，所以．而，连接，所以四边形是平行四边形，故．
因为，所以，故．
2） 因为，故．
由（1）可知，所以，所以．
由知，而，故．
23. （1） 由已知可得
即．2） 设，令。
则。因为，所以的取值范围是．
24. （1） 当时，原函数可化为
当时，由得，解得；
当时， 无解；
当时，由得，解得．
所以的解集为．
2） 由题意可知，所以。
因此， 的解集包含等价于，当时， 恒成立．
经过求解可得，由条件得且，即，故满足条件的的取值范围为．
2024年全国新课标理
理科数学。第i卷。一 选择题 本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 复数的共轭复数是。a bcd 解析 共轭复数为，故选c 2 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是。a b c d 解析 由偶函数排除a,由在单调递增，排除c，d,故选b 3 执行...
2019 新课标全国卷 理
2013 新课标全国卷 理科数学 1 a1 2013 新课标全国卷 已知集合m n 则m n a b c d 1 a 解析 集合m 的前n项和为sn，已知s3 a2 10a1，a5 9，则a1 a.b c.d 3 c 解析 s3 a2 10a1a1 a2 a3 a2 10a1a3 9a1q2 9，a...
2024年新课标全国理数解析版
答案 d 解析 由题意得，当时，共4中情形 当时，共3中情形 当时，共2中情形 当时，共1中情形，共计10中可能，所以集合b中的元素个数为10个，故选d.点评 本题考查了集合的运算性质，属于中抵挡试题，关键在于准确把握试题的条件，正确 合理分类求解。答案 a解析 由题意得，先由甲地选1名教师2名学生...