班级姓名。一、填空题（56分）
1.已知集合，，则等于。
答： ；2.若，则行列式。
3.已知，若为纯虚数，则的值为。
4.若的展开式中的第五项等于，则的值为1 ；
5.已知等比数列的公比为正数，且，，则。
6.设的反函数，若函数的图像过点，且，则= 。
7.甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是，，，则三人中至少有一人达标的概率是。
解： .8.在极坐标系中，已知点，，是曲线。
上任意一点，则面积的最小值等于。
9. 程序框图所示，将输出的的值依次记为，那么数列的通项公式为= 。
10. 在北纬东经有一座城市a，在北纬东经有一座城市b，设地球半径为，则a、b两地之间的距离是10、
11. 已知点及抛物线上一动点，则的最小值为
12.若函数的图像是开口向下的抛物线，且对任意，都有，设向量，，则满足不等式的实数的取值范围 。
解：设。又。
由题意有。13.设表示不超过的最大整数，如，若函数，则的值域为。
解：. 14.已知数列具有性质：对任意，与两数中至少有一个是该数列中的一项，现给一下四个命题：
数列0，1，3，5，7具有性质；② 数列0，2，4，6，8具有性质；
数列具有性质，则； ④若数列具有性质，则。 其中真命题有14、②③
解： 依题意，所以数列不具有性质p;
因此0,2,4,6,8,具有性质p.
具有性质p,所以与中至少有一个属于a.
由于。从而，故。
由a具有性质p可知。
又，从而有，由可知，当n=5时，有。
由a具有性质p,可知。
由，且。即。
是首项为0,公差为的等差数列。
同步训练：2009北京卷20题共13分）
已知数集具有性质；对任意的。
与两数中至少有一个属于。
ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
ⅱ）证明：，且；
ⅲ）证明：当时，成等比数列。
解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分。
分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题。
ⅰ）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质p.
由于都属于数集，该数集具有性质p.
具有性质p，∴与中至少有一个属于a，由于，∴，故。
从而，∴.故。
由a具有性质p可知。
又∵，，从而，.
ⅲ）由（ⅱ）知，当时，有，即，由a具有性质p可知。
由，得，且，∴，即是首项为1，公比为成等比数列。
二、选择题（20分）
15. 是直线与直线平行的 （ c ）
a.充分非必要条件 b.必要非充分条件 c.充要条件 d.非充分非必要条件
16. 下列四个命题中真命题是 （ b ）
a.同垂直于一直线的两条直线互相平行。
b.过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条；
c.底面各边相等、侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱；
d.过球面上任意两点的大圆有且只有一个；
17. 随机变量概率分布律如下，其中、、为等差数列，若，则的值为（ b ）
a. b. c. d.
解：首先复习数学期望与方差的概念与性质：
一般地，若离散随机变量的概率分布列为。
则称为的数学期望。
期望的性质：
若，则。对于离散型随机变量，如果它有可能的值是，且取这些值得概率分别是。
那么称为随机变量的方差，简称为方差。
方差的性质：
方差的算术平方根叫做随机变量的标准差记作。
18.设函数的定义域为，若存在非零常数，使得对于任意都有，则称为上高调函数，是一个高调值。现给出下列命题：
函数为上的高调函数； ②函数为上的高调函数；
若函数为上的高调函数，则高调值的取值范围是。
其中正确的命题个数是 （ d ）
a．0个 b. 1个 c.2个d.3个。
三．解答题（74分）
19. 已知复数， ，且。
若且，求的值；
若，求的最小正周期和单调递减区间。
解：⑴ 若则得， ,或， 或。
函数的最小正周期为t=
由，得， 的单调减区间为，
20. 如图，已知四棱柱的底面是边长为2的正方形，底面，分别是棱、的中点。
若，求异面直线和所成角的大小；
若二面角的大小为，求四棱锥的体积。
20、解：⑴ 证明：∵分别为中点，为正方形，∴
所成的角是或其补角，中， ，所成的角。
以为原点，射线分别为轴建立空间坐标系，设，则，设平面的一个法向量，则。
令，则，平面的一个法向量为。
二面角的大小为，，则。
解得，∴ 四棱锥的体积为。
21. 某地区的农产品第天的销售**（元/百斤），一农户在第天农产品的销售量（百斤）（为常数），且该农户第7天销售农产品的销售收入为元。
求该农户在第10天销售农产品的销售收入是多少？
这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？为多少？
21、解：⑴ 由已知第7天的销售**，销售量得。
第7天的销售收入（元）。
第10天的销售收入（元）
设第x天的销售收入为则
当时，（当且仅当时取等号） 当时取最大值。
当时，（当且仅当时取等号） 当时取最大值。
由于， 第2天该农户的销售收入最大。
答：⑴ 第10天销售收入1932元 ⑵ 第2天该农户的销售收入最大且最大为2116元。
22. 已知点，，动点满足，记动点的轨迹为。
求的方程；
过作直线交曲线于，两点，使得，求直线的方程；
若从动点向圆作两条切线，切点为、，令，试用来表示，并求的取值范围。
22、解：⑴ 由知点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线。即。
所以的方程为。
若斜率不存在，即时，可得，满足题意；
若存在，可设直线的方程为。
联立。由题意知且，即。
即综合：直线的方程为或。
又。则在是增函数，
则所求的的范围为。
23. 已知数列和满足：，，其中为实数，为正整数。
对任意实数，证明：数列不是等比数列；
证明：当时，数列是等比数列；
设（、为实常数），为数列的前项和，是否存在实数，使得对任意正整数，都有成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。
解：⑴ 假设存在一个实数，使是等比数列，则有，即不成立。
所以不是等比数列。
因为。当时，，由上可知，
故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列。
由⑵知 ，当时， ，不满足题意。
当时，， 要使对任意正整数都成立，只要（）
即………令则当为正奇数时，，当为正偶数时，
的最大值为， 的最小值为，于是，由式得。
当时，由，不存在实数满足题意；
当时，存在实数，使得对任意正整数，都有。
且的取值范围是。
补充例题：09四川22题满分14分）
设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。
）求数列的通项公式；
）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；
）设数列的前项和为。已知正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值。
22）本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。
解：（ⅰ当时，
又。数列成等比数列，其首项，公比是。
3分。ⅱ）由（ⅰ）知。
又。当。
当。ⅲ）由（ⅰ）知。
一方面，已知恒成立，取n为大于1的奇数时，设。则。
对一切大于1的奇数n恒成立。
只对满足的正奇数n成立，矛盾。
另一方面，当时，对一切的正整数n都有。
事实上，对任意的正整数k，有。
当n为偶数时，设。则。
当n为奇数时，设。
则。对一切的正整数n，都有。
综上所述，正实数的最小值为414分。
2009重庆21题满分12分，（ⅰ问5分，（ⅱ问7分）
设个不全相等的正数依次围成一个圆圈．
ⅰ）若，且是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列；数列的前项和满足：，求通项；
ⅱ）若每个数是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：；
21）（本小题12分）
解：（i）因是公比为d的等比数列，从而由 ，故。
解得或（舍去）。因此。
又 。解得。
从而当时，当时，由是公比为d的等比数列得。
因此 ii）由题意得。
有①得 ④由①，②得，
故。又，故有。
下面反证法证明：
若不然，设。
若取即，则由⑥得，而由③得。
得由②得而。
及⑥可推得（）与题设矛盾。
同理若p=2，3，4，5均可得（）与题设矛盾，因此为6的倍数。
由均值不等式得。
由上面三组数内必有一组不相等（否则，从而与题设矛盾），故等号不成立，从而。
又，由④和⑥得。
因此由⑤得。
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