(ababc)
(图2图3)
2.实验验证:
让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折,观察两部分是否重合;教师用电脑演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质——
圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线(或直径所在的直线)都是它的对称轴。
3.运动变换:
如图3(a),ab、cd是⊙o的两条直径,图中有哪些相等的线段和相等的弧?
如图3(b),当ab⊥cd时,图中又有哪些相等的线段和相等的弧?
如图3(c),当ab向下平移,变成非直径的弦时,图中还有哪些相等的线段和相等的弧?此外,还有其他的相等关系吗?
4.提出猜想:根据以上的研究和图3(c),我们可以大胆提出这样的猜想——
板书)5.验证猜想:教师用电脑课件演示图3(c)中沿直径cd对折,这条特殊直径两侧的图形能够完全重合,并给这条特殊的直径命名为——垂直于弦的直径。
三、引导**,证明定理。
1.引导证明:
猜想是否正确,还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。
证明“ae=be”,可通过连结oa、ob来实现,利用等腰三角形性质证明。
②证明“弧相等”,就是要证明它们“能够完全重合”,可利用圆的对称性证明。
2.归纳定理:
根据上面的证明,请学生自己用文字语文进行归纳,并将其命名为“垂径定理”。
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
3.巩固定理:
在下列图形(如图4(a)~(d))中,ab是⊙o的弦,cd是⊙o的弦,它们是否适用于“垂径定理”?若不适用,说明理由;若适用,能得到什么结论。
a)ab⊥cd于e (b)e是ab中点 (c)oc⊥ab于e (d)oe⊥ab于e
图4)向学生强调:(1)定理中的两个条件缺一不可;(2)定理的变式图形。
四、例题示范,变式练习。
1.运用定理进行计算。
例1〗如图5,在⊙o中,若弦ab的长为8cm,圆心o到ab的距离为3cm,求⊙o的半径。
分析:因为已知“圆心o到ab的距离为3cm”,所以要作。
辅助线oe⊥ab;因为要求半径,所以还要连结oa。
解:(略)学生口述,教师板书图5)
变式一〗在图5中,若⊙o的半径为10cm,oe=6cm,则ab= 。
思考一:若圆的半径为r,一条弦长为a,圆心到弦的距离为d,则r、a、d三者之间的关系式是。
变式二〗如图6,在⊙o中,半径oc⊥ab,垂足为e,若ce=2cm,ab=8cm,则⊙o的半径图6)
思考二:你能解决本课一开始提出的问题吗?(由学生口述方法)
2.运用定理进行证明。
例2〗已知:如图7,在以o为圆心的两个同心圆中,大圆的弦ab交小圆于c、d两点。
求证:ac=bd图7)
分析:①证明两条线段相等,最常用的方法是什么?用这种方法怎样证明?
(证明△oac≌△obd或证明△oad≌△obc)
此外,还有更简捷的证明方法吗?若有,又怎样证明?(垂径定理)
证法一:连结oa、ob、oc、od,用“三角形全等”证明。
证法二:过点o作oe⊥ab于e,用“垂径定理”证明。(详见课本p77例2)
注1:通过两种证明方法的比较,选择最优证法。
注2:辅助线“过圆心作弦的垂线段”是第二种证法的关键,也是常用辅助线。
思考:在图7中,若ac=2,ab=10,则圆环的面积是 。
变式一〗若将图7中的大圆隐去,还需什么条件,才能保证ac=bd?
变式二〗若将图7中的小圆隐去,还需什么条件,才能保证ac=bd?
变式三〗将图7变成图8(三个同心圆),你可以。
证明哪些线段相等图8)
例3〗(选讲)如图9,rt△abc中,∠acb=90°,ac=3,bc=,以c为圆心、ca长为半径画弧,交。
斜边ab于d,求ad的长。(答案:2)
略解:过点c作ce⊥ab于e,先用勾股定理求得图9)
ab=9,再用面积法求得ce=,最后用勾股定理求得ae=1,由垂径定理得ad=2。
五、师生小结,纳入系统。
1.定理的三种基本图形——如图。
2.计算中三个量的关系——如图13,。
3.证明中常用的辅助线——过圆心作弦的垂线段。
图10图11图12图13)
六、达标检测,反馈效果。
1.(课本p78练习第1题)如图14,在⊙o的半径为50mm,弦ab=50mm,则点o到ab的距离为 ,∠aob= 度。
2.作图题:经过已知⊙o内的已知点a作弦,使它以点a为中点(如图15)。
3.课本p78练习第2题图14图15)
课堂练习。姓名得分。
1. 如图,⊙o的半径为50mm,弦ab=50mm,则点o到ab的距离为 ,aob= 度。
第1题第2题)
2.作图题:经过已知⊙o内的已知点a作弦,使它以点a为中点(如图)。
要求:保留作图痕迹,但不必写作法。
3.已知:如图,在⊙o中,ab、ac是两条互相垂直且相等的弦,od⊥ab,oe⊥ac,垂足分别为d、e。
求证:四边形adoe是正方形。
(第3题)
垂径定理 第一课时 教学设计
垂径定理 第一课时 教学设计。李裕达。教学内容 7 3垂径定理 初三 几何 课本p76 p78 教学目标 1 知识目标 通过观察实验,使学生理解圆的轴对称性 掌握垂径定理,理解其证明,并会用它解决有关的证明与计算问题 掌握辅助线的作法 过圆心作一条与弦垂直的线段。2 能力目标 通过定理 培养学生观察...
垂径定理 第一课时 教学设计
垂径定理 第一课时 教学设计。李裕达。教学内容 7 3垂径定理 初三 几何 课本p76 p78 教学目标 1 知识目标 通过观察实验,使学生理解圆的轴对称性 掌握垂径定理,理解其证明,并会用它解决有关的证明与计算问题 掌握辅助线的作法 过圆心作一条与弦垂直的线段。2 能力目标 通过定理 培养学生观察...
垂径定理 第一课时 教学设计
垂径定理 第一课时 教学设计。李裕达。教学内容 7 3垂径定理 初三 几何 课本p76 p78 教学目标 1 知识目标 通过观察实验,使学生理解圆的轴对称性 掌握垂径定理,理解其证明,并会用它解决有关的证明与计算问题 掌握辅助线的作法 过圆心作一条与弦垂直的线段。2 能力目标 通过定理 培养学生观察...