垂径定理（第一课时）教学设计。
李裕达。教学内容】§7．3垂径定理（初三《几何》课本p76~p78）
教学目标】1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；
掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；
掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。
2．能力目标：①通过定理**，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；
向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。
3．情感目标：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透；
激发学生**、发现数学问题的兴趣和欲望。
教学重点】垂径定理及其应用。
教学难点】垂径定理的证明。
教学方法】**发现法。
教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。
教学设计】一、实例导入，激疑引趣。
1．实例：同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文（初二语文第三册第一课·茅以升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。
2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦ab的距离，也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的。
半径（即ab所在圆的半径）是多少？
通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。 （图1）
二、尝试诱导，发现定理。
1．复习过渡：
①如图2(a)，弦ab将⊙o分成几部分？各部分的名称是什么？
②如图2(b)，将弦ab变成直径，⊙o被分成的两部分各叫什么？
③在图2(b)中，若将⊙o沿直径ab对折，两部分是否重合？
(ababc)
（图2图3）
2．实验验证：
让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折，观察两部分是否重合；教师用电脑演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质——
圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。
3．运动变换：
如图3(a)，ab、cd是⊙o的两条直径，图中有哪些相等的线段和相等的弧？
如图3(b)，当ab⊥cd时，图中又有哪些相等的线段和相等的弧？
如图3(c)，当ab向下平移，变成非直径的弦时，图中还有哪些相等的线段和相等的弧？此外，还有其他的相等关系吗？
4．提出猜想：根据以上的研究和图3(c)，我们可以大胆提出这样的猜想——
板书）5．验证猜想：教师用电脑课件演示图3(c)中沿直径cd对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为——垂直于弦的直径。
三、引导**，证明定理。
1．引导证明：
猜想是否正确，还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。
证明“ae=be”，可通过连结oa、ob来实现，利用等腰三角形性质证明。
②证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明。
2．归纳定理：
根据上面的证明，请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
3．巩固定理：
在下列图形（如图4(a)~(d)）中，ab是⊙o的弦，cd是⊙o的弦，它们是否适用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。
a)ab⊥cd于e (b)e是ab中点 (c)oc⊥ab于e (d)oe⊥ab于e
图4）向学生强调：(1)定理中的两个条件缺一不可；(2)定理的变式图形。
四、例题示范，变式练习。
1．运用定理进行计算。
例1〗如图5，在⊙o中，若弦ab的长为8cm，圆心o到ab的距离为3cm，求⊙o的半径。
分析：因为已知“圆心o到ab的距离为3cm”，所以要作。
辅助线oe⊥ab；因为要求半径，所以还要连结oa。
解：（略）学生口述，教师板书图5）
变式一〗在图5中，若⊙o的半径为10cm，oe=6cm，则ab= 。
思考一：若圆的半径为r，一条弦长为a，圆心到弦的距离为d，则r、a、d三者之间的关系式是。
变式二〗如图6，在⊙o中，半径oc⊥ab，垂足为e，若ce=2cm，ab=8cm，则⊙o的半径图6）
思考二：你能解决本课一开始提出的问题吗？（由学生口述方法）
2．运用定理进行证明。
例2〗已知：如图7，在以o为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ab交小圆于c、d两点。
求证：ac＝bd图7）
分析：①证明两条线段相等，最常用的方法是什么？用这种方法怎样证明？
（证明△oac≌△obd或证明△oad≌△obc）
此外，还有更简捷的证明方法吗？若有，又怎样证明？（垂径定理）
证法一：连结oa、ob、oc、od，用“三角形全等”证明。
证法二：过点o作oe⊥ab于e，用“垂径定理”证明。（详见课本p77例2）
注1：通过两种证明方法的比较，选择最优证法。
注2：辅助线“过圆心作弦的垂线段”是第二种证法的关键，也是常用辅助线。
思考：在图7中，若ac=2，ab=10，则圆环的面积是 。
变式一〗若将图7中的大圆隐去，还需什么条件，才能保证ac=bd？
变式二〗若将图7中的小圆隐去，还需什么条件，才能保证ac=bd？
变式三〗将图7变成图8（三个同心圆），你可以。
证明哪些线段相等图8）
例3〗（选讲）如图9，rt△abc中，∠acb＝90°，ac＝3，bc＝，以c为圆心、ca长为半径画弧，交。
斜边ab于d，求ad的长。（答案：2）
略解：过点c作ce⊥ab于e，先用勾股定理求得图9）
ab=9，再用面积法求得ce=，最后用勾股定理求得ae=1，由垂径定理得ad=2。
五、师生小结，纳入系统。
1．定理的三种基本图形——如图。
2．计算中三个量的关系——如图13，。
3．证明中常用的辅助线——过圆心作弦的垂线段。
图10图11图12图13）
六、达标检测，反馈效果。
1．（课本p78练习第1题）如图14，在⊙o的半径为50mm，弦ab=50mm，则点o到ab的距离为 ，∠aob＝ 度。
2．作图题：经过已知⊙o内的已知点a作弦，使它以点a为中点（如图15）。
3．课本p78练习第2题图14图15）
课堂练习。姓名得分。
1． 如图，⊙o的半径为50mm，弦ab=50mm，则点o到ab的距离为 ，aob＝ 度。
第1题第2题）
2．作图题：经过已知⊙o内的已知点a作弦，使它以点a为中点（如图）。
要求：保留作图痕迹，但不必写作法。
3．已知：如图，在⊙o中，ab、ac是两条互相垂直且相等的弦，od⊥ab，oe⊥ac，垂足分别为d、e。
求证：四边形adoe是正方形。
（第3题）
垂径定理 第一课时 教学设计
垂径定理 第一课时 教学设计。李裕达。教学内容 7 3垂径定理 初三 几何 课本p76 p78 教学目标 1 知识目标 通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性 掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题 掌握辅助线的作法 过圆心作一条与弦垂直的线段。2 能力目标 通过定理 培养学生观察...
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