垂径定理 第一课时 教学设计

发布 2024-03-02 21:35:07 阅读 7408

垂径定理(第一课时)教学设计。

李裕达。教学内容】§7.3垂径定理(初三《几何》课本p76~p78)

教学目标】1.知识目标:①通过观察实验,使学生理解圆的轴对称性;

掌握垂径定理,理解其证明,并会用它解决有关的证明与计算问题;

掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。

2.能力目标:①通过定理**,培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力;

向学生渗透“由特殊到一般,再由一般到特殊”的基本思想方法。

3.情感目标:①结合本课教学特点,向学生进行爱国主义教育和美育渗透;

激发学生**、发现数学问题的兴趣和欲望。

教学重点】垂径定理及其应用。

教学难点】垂径定理的证明。

教学方法】**发现法。

教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。

教学设计】一、实例导入,激疑引趣。

1.实例:同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文(初二语文第三册第一课·茅以升),其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥(如图)。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县(古称赵州)而得名,是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥,距今已有1400多年历史,被誉为“华北四宝之一”,它的结构是当时世界桥梁界的首创,这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。

2.导入:赵州桥的桥拱呈圆弧形的(如图1),它的跨度(弧所对的弦长)为37.4米,拱高(弧的中点到弦ab的距离,也叫弓高)为7.2米。请问:桥拱的。

半径(即ab所在圆的半径)是多少?

通过本节课的学习,我们将能很容易解决这一问题。 (图1)

二、尝试诱导,发现定理。

1.复习过渡:

①如图2(a),弦ab将⊙o分成几部分?各部分的名称是什么?

②如图2(b),将弦ab变成直径,⊙o被分成的两部分各叫什么?

③在图2(b)中,若将⊙o沿直径ab对折,两部分是否重合?

(ababc)

(图2图3)

2.实验验证:

让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折,观察两部分是否重合;教师用电脑演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质——

圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线(或直径所在的直线)都是它的对称轴。

3.运动变换:

如图3(a),ab、cd是⊙o的两条直径,图中有哪些相等的线段和相等的弧?

如图3(b),当ab⊥cd时,图中又有哪些相等的线段和相等的弧?

如图3(c),当ab向下平移,变成非直径的弦时,图中还有哪些相等的线段和相等的弧?此外,还有其他的相等关系吗?

4.提出猜想:根据以上的研究和图3(c),我们可以大胆提出这样的猜想——

板书) 5.验证猜想:教师用电脑课件演示图3(c)中沿直径cd对折,这条特殊直径两侧的图形能够完全重合,并给这条特殊的直径命名为——垂直于弦的直径。

三、引导**,证明定理。

1.引导证明:

猜想是否正确,还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。

证明“ae=be”,可通过连结oa、ob来实现,利用等腰三角形性质证明。

②证明“弧相等”,就是要证明它们“能够完全重合”,可利用圆的对称性证明。

2.归纳定理:

根据上面的证明,请学生自己用文字语文进行归纳,并将其命名为“垂径定理”。

垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。

3.巩固定理:

在下列图形(如图4(a)~(d))中,ab是⊙o的弦,cd是⊙o的弦,它们是否适用于“垂径定理”?若不适用,说明理由;若适用,能得到什么结论。

a)ab⊥cd于e (b)e是ab中点 (c)oc⊥ab于e (d)oe⊥ab于e

图4)向学生强调:(1)定理中的两个条件缺一不可;(2)定理的变式图形。

四、例题示范,变式练习。

1.运用定理进行计算。

例1〗如图5,在⊙o中,若弦ab的长为8cm,圆心o到ab的距离为3cm,求⊙o的半径。

分析:因为已知“圆心o到ab的距离为3cm”,所以要作。

辅助线oe⊥ab;因为要求半径,所以还要连结oa。

解:(略)学生口述,教师板书图5)

变式一〗在图5中,若⊙o的半径为10cm,oe=6cm,则ab= 。

思考一:若圆的半径为r,一条弦长为a,圆心到弦的距离为d,则r、a、d三者之间的关系式是。

变式二〗如图6,在⊙o中,半径oc⊥ab,垂足为e,若ce=2cm,ab=8cm,则⊙o的半径图6)

思考二:你能解决本课一开始提出的问题吗?(由学生口述方法)

2.运用定理进行证明。

例2〗已知:如图7,在以o为圆心的两个同心圆中,大圆的弦ab交小圆于c、d两点。

求证:ac=bd图7)

分析:①证明两条线段相等,最常用的方法是什么?用这种方法怎样证明?

(证明△oac≌△obd或证明△oad≌△obc)

此外,还有更简捷的证明方法吗?若有,又怎样证明?(垂径定理)

证法一:连结oa、ob、oc、od,用“三角形全等”证明。

证法二:过点o作oe⊥ab于e,用“垂径定理”证明。(详见课本p77例2)

注1:通过两种证明方法的比较,选择最优证法。

注2:辅助线“过圆心作弦的垂线段”是第二种证法的关键,也是常用辅助线。

思考:在图7中,若ac=2,ab=10,则圆环的面积是 。

变式一〗若将图7中的大圆隐去,还需什么条件,才能保证ac=bd?

变式二〗若将图7中的小圆隐去,还需什么条件,才能保证ac=bd?

变式三〗将图7变成图8(三个同心圆),你可以。

证明哪些线段相等图8)

例3〗(选讲)如图9,rt△abc中,∠acb=90°,ac=3,bc=,以c为圆心、ca长为半径画弧,交。

斜边ab于d,求ad的长。(答案:2)

略解:过点c作ce⊥ab于e,先用勾股定理求得图9)

ab=9,再用面积法求得ce=,最后用勾股定理求得ae=1,由垂径定理得ad=2。

五、师生小结,纳入系统。

1.定理的三种基本图形——如图。

2.计算中三个量的关系——如图13,。

3.证明中常用的辅助线——过圆心作弦的垂线段。

图10图11图12图13)

六、达标检测,反馈效果。

1.(课本p78练习第1题)如图14,在⊙o的半径为50mm,弦ab=50mm,则点o到ab的距离为 ,∠aob= 度。

2.作图题:经过已知⊙o内的已知点a作弦,使它以点a为中点(如图15)。

3.课本p78练习第2题图14图15)

课堂练习。姓名得分。

1. 如图,⊙o的半径为50mm,弦ab=50mm,则点o到ab的距离为 ,aob= 度。

第1题第2题)

2.作图题:经过已知⊙o内的已知点a作弦,使它以点a为中点(如图)。

要求:保留作图痕迹,但不必写作法。

3.已知:如图,在⊙o中,ab、ac是两条互相垂直且相等的弦,od⊥ab,oe⊥ac,垂足分别为d、e。

求证:四边形adoe是正方形。

(第3题)

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