课题：2．3 数学归纳法导学案。
自学目标】1.了解数学归纳法的原理．
2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
学习过程：一、课前准备：1.阅读**课本p92-p96的基础知识，自主高效预习，完成预习自学提纲；
2.结合课本基础知识和例题，完成预习自测题；对合作**部分认真审题，做不好的上课时组内讨论。
3.将预习中不能解决的问题标识出来，并写到后面“我的疑惑”处，准备课上讨论质疑。
二、新课导学。
一）. 温故夯基。
归纳推理的一般步骤。
1)实验、观察：通过观察___发现某些相同性质．
2)概括、推广：从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题，并且在一般情况下，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．
3)猜测一般性结论：通过实例去分析、归纳问题的一般性命题．
二）．知新益能。
1．数学归纳法。
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
1)(归纳奠基)证明当n取第一个值___时命题成立；
2)(归纳递推)假设时命题成立，证明当___时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有___都成立．
上述证明方法叫做。
2．用框图表示数学归纳法的步骤。
思考：数学归纳法的两个步骤之间有怎样的联系？
提示：第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可．
当堂检测】1．若命题a(n)(n∈n*)在n＝k(k∈n*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈n*)时命题成立，则有( )
a．命题对所有正整数都成立。
b．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立。
c．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立。
d．以上说法都不正确。
2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证n等于( )
a．1b．2
c．3 d．0
3．分析下述证明2＋4＋…＋2n＝n2＋n＋1(n∈n*)的过程中的错误。
证明：假设当n＝k(k∈n*)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k＋1，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈n*等式都成立．
4．用数学归纳法证明≥()n(a，b是非负实数，n∈n*)时，假设n＝k命题成立之后，证明n＝k＋1命题也成立的关键是___
我的疑惑】
典型例题：**一． 用数学归纳法证明恒等式。
用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项．
用数学归纳法证明：＋＋
变式训练1 用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋2n－3)＋(2n－1)＋(2n－3)＋…5＋3＋1＝2n2－2n＋1(n∈n*)．
**二．用数学归纳法证明不等式。
1)在利用数学归纳法证明不等式时，除直接应用不等式性质证明外，还经常用到不等式证明中的比较法、分析法、配方法、综合法、放缩法等．
2)在由假设n＝k时成立，证明n＝k＋1成立时，一定要注意项的变化．
变式训练2 求证：如果x是实数，x>－1且x≠0，n为大于1的自然数，那么(1＋x)n>1＋nx.
**三．用数学归纳法证明几何问题。
用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，还需用到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．
**四．归纳——猜想——证明。
归纳——猜想——证明”的问题是探索性命题，它是通过对特殊情况的观察——归纳——猜想——证明这一完整的思路过程去探索和发现问题并证明所猜结论的正确性，这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式．
变式训练3 已知数列的第一项a1＝5且sn－1＝an(n≥2，n∈n*)．
1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；
2)用数学归纳法证明的通项公式．
课堂小结】方法技巧。
运用数学归纳法证明有关命题应注意以下几点：
1)两个步骤缺一不可．
2)在第一步中，n的初始值不一定从1取起，也不一定只取一个数(有时需取n＝n0，n0＋1等)，证明时应视具体情况而定．
3)第二步中，证明n＝k＋1时，必须使用假设，否则就会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系，造成推理无效．
4)证明n＝k＋1成立时，要明确求证的目标形式，一般要凑出假设里给出的形式，以便使用假设，然后再去凑出当n＝k＋1时的结论，这样就能有效减少论证的盲目性．
数学归纳法的理论根据是皮亚诺的归纳公理：任何一个正整数集a，若①1∈a；②由k∈a可推出k＋1∈a，则a含有所有的正整数．
失误防范。1．数学归纳法第一步验证的是n＝n0时命题是否成立，不一定是n＝1，因为有时n0不一定为1.
2．对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生变化而弄错．
3．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了．
我的收获】
答案。1．若命题a(n)(n∈n*)在n＝k(k∈n*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈n*)时命题成立，则有( )
a．命题对所有正整数都成立。
b．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立。
c．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立。
d．以上说法都不正确。
解析：选c.由已知得n＝n0(n0∈n*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选c.
2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证n等于( )
a．1b．2
c．3 d．0
解析：选c.因为是证凸n边形，所以应先验证三角形．故选c.
3．分析下述证明2＋4＋…＋2n＝n2＋n＋1(n∈n*)的过程中的错误。
证明：假设当n＝k(k∈n*)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k＋1，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈n*等式都成立．
答案：缺少步骤归纳奠基，实际上当n＝1时等式不成立。
4．用数学归纳法证明≥()n(a，b是非负实数，n∈n*)时，假设n＝k命题成立之后，证明n＝k＋1命题也成立的关键是___
解析：要想办法出现ak＋1＋bk＋1，两边同乘以，右边也出现了要证的()k＋1.
答案：两边同乘以。
**一。变式训练1 用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋2n－3)＋(2n－1)＋(2n－3)＋…5＋3＋1＝2n2－2n＋1(n∈n*)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；
2)假设n＝k(k≥1，k∈n*)时等式成立，即。
1＋3＋5＋…＋2k－3)＋(2k－1)＋(2k－3)＋…5＋3＋1＝2k2－2k＋1，则n＝k＋1时，左边＝1＋3＋5＋…＋2k－3)＋(2k－1)＋(2k＋1)＋(2k－1)＋(2k－3)＋…5＋3＋1
2k2－2k＋1＋(2k＋1)＋(2k－1)
2k2＋2k＋1
2(k＋1)2－2(k＋1)＋1，n＝k＋1时，等式成立，由(1)(2)知，等式对任何n∈n*都成立．
2 3数学归纳法导学案第一课时
课题 2 3 数学归纳法。课标要求 1.了解数学归纳法的原理 2 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 考纲要求 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 教学目标叙写 结合必修系列中有关知识的复习，通过通读课本，学生数学归纳法形成初步印象，通过 加深应用，最终达到熟知。使用说明与学法指导 1.阅读 课...
数学归纳法第一课时说课稿
淄博五中张召建。一 教材结构与内容简析。数学归纳法是在学生对不完全归纳法有了初步了解之后的情况下给出的。它是对归纳推理理论的完善与补充，它是一种特殊的直接证明的方法，在证明一些与正整数有关的数学命题时，数学归纳法往往是非常有用的研究工具，它通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形。数学归纳...
数学归纳法教学设计第一课时
丁京川。教学目标。一 知识与技能。1.了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤 2.会证明简单的与正整数有关的命题，尤其是数列型的问题的证明 二 过程与方法。通过实际情景诱导启发，以及多米诺骨牌游戏努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于大胆质疑，积极思考的氛围，提高学生学习兴...