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2024年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（文史类）
本试题卷共5页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．为虚数单位，
abcd．1
2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534
石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为。
a．134石b．169石c．338石d．1365石。
3．命题“，”的否定是。
ab．， cd．，
4．已知变量和满足关系，变量与正相关。 下列结论中正确的是。
a．与负相关，与负相关b．与正相关，与正相关。
c．与正相关，与负相关d．与负相关，与正相关。
5．表示空间中的两条直线，若p：是异面直线；q：不相交，则
a．p是q的充分条件，但不是q的必要条件。
b．p是q的必要条件，但不是q的充分条件。
c．p是q的充分必要条件。
d．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件。
6．函数的定义域为
abcd．
7．设，定义符号函数则。
ab． cd．
8． 在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”
的概率，则。
abcd．
9．将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位
长度，得到离心率为的双曲线，则。
a．对任意的b．当时，；当时，
c．对任意的d．当时，；当时，
10．已知集合，，定义集合，则中元素的个数为。
a．77b．49c．45d．30
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．
11．已知向量，，则。
12．若变量满足约束条件则的最大值是。
13．函数的零点个数为。
14．某电子商务公司对10000名网络购物者2024年度的消费情况进行统计，发现消费金额。
（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示。
（ⅰ）直方图中的。
（ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数为。
15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶d在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度___m.
16．如图，已知圆与轴相切于点，与轴正半
轴交于两点a，b（b在a的上方），且。
（ⅰ）圆的标准方程为。
（ⅱ）圆在点处的切线在轴上的截距为。
17． a为实数，函数在区间上的最大值记为。 当___时，的值最小。
三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本小题满分12分）
某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象。
时，列表并填入了部分数据，如下表：
（ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解。
析式；（ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到图象，求。
的图象离原点o最近的对称中心。
19．（本小题满分12分）
设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，，，
ⅰ）求数列，的通项公式；
ⅱ）当时，记，求数列的前n项和．
20．（本小题满分13分）
九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑。
在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的。
中点，连接。
ⅰ）证明：平面。 试判断四面体是。
否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需。
写出结论）；若不是，请说明理由；
ⅱ）记阳马的体积为，四面体的。
体积为，求的值．
第20题图。
21．（本小题满分14分）
设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，其中e为自然对数的底数。
ⅰ）求，的解析式，并证明：当时，，；
ⅱ）设，，证明：当时，.
22．（本小题满分14分）
一种画椭圆的工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆on可绕o转动，长杆mn通过n处铰链与on连接，mn上的栓子d可沿滑槽ab滑动，且，．当栓子d在滑槽ab内作往复运动时，带动n绕转动，m处的笔尖画出的椭圆记为c．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
ⅰ）求椭圆c的方程；
ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线。
总与椭圆有且只有一个公共点，试**：△opq的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
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