8．（4分）(2023年重庆市)如图，直线ab∥cd，直线ef分别交直线ab、cd于点e、f，过点f作fg⊥fe，交直线ab于点g，若∠1=42°，则∠2的大小是（ ）
a． 56° b． 48° c． 46° d． 40°
考点： 平行线的性质．菁优网版权所有。
分析： 根据两直线平行，同位角相等可得∠3=∠1，再根据垂直的定义可得∠gfe=90°，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．
解答： 解：∵ab∥cd，∠3=∠1=42°，fg⊥fe，∠gfe=90°，∠2=180°﹣90°﹣42°=48°．
故选b．点评： 本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
9．（4分）(2023年重庆市)如图，△abc的顶点a、b、c均在⊙o上，若∠abc+∠aoc=90°，则∠aoc的大小是（ ）
a． 30° b． 45° c． 60° d． 70°
考点： 圆周角定理．菁优网版权所有。
专题： 计算题．
分析： 先根据圆周角定理得到∠abc=∠aoc，由于∠abc+∠aoc=90°，所以∠aoc+∠aoc=90°，然后解方程即可．
解答： 解：∵∠abc=∠aoc，而∠abc+∠aoc=90°，∠aoc+∠aoc=90°，∠aoc=60°．
故选c．点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
11．（4分）(2023年重庆市)如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律．则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（ ）
a． 20 b． 27 c． 35 d． 40
考点： 规律型：图形的变化类．菁优网版权所有。
分析： 第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，…，按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+n=，进一步求得第（6）个图形中面积为1的正方形的个数即可．
解答： 解：第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+n+1）=个，则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为2+3+4+5+6+7=27个．
故选：b．点评： 此题考查图形的变化规律，找出图形与数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
15．（4分）(2023年重庆市)如图，菱形abcd中，∠a=60°，bd=7，则菱形abcd的周长为 28 ．
考点： 菱形的性质．菁优网版权所有。
分析： 根据菱形的性质可得：ab=ad，然后根据∠a=60°，可得三角形abd为等边三角形，继而可得出边长以及周长．
解答： 解：∵四边形abcd为菱形，ab=ad，∠a=60°，△abd为等边三角形，bd=7，ab=bd=7，菱形abcd的周长=4×7=28．
故答案为：28．
点评： 本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形的四条边都相等的性质，比较简单．
16．（4分）(2023年重庆市)如图，△oab中，oa=ob=4，∠a=30°，ab与⊙o相切于点c，则图中阴影部分的面积为 4﹣ ．结果保留π）
考点： 切线的性质；含30度角的直角三角形；扇形面积的计算．菁优网版权所有。
专题： 计算题．
分析： 连接oc，由ab为圆的切线，得到oc垂直于ab，再由oa=ob，利用三线合一得到c为ab中点，且oc为角平分线，在直角三角形aoc中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出oc的长，利用勾股定理求出ac的长，进而确定出ab的长，求出∠aob度数，阴影部分面积=三角形aob面积﹣扇形面积，求出即可．
解答： 解：连接oc，ab与圆o相切，oc⊥ab，oa=ob，∠aoc=∠boc，∠a=∠b=30°，在rt△aoc中，∠a=30°，oa=4，oc=oa=2，∠aoc=60°，∠aob=120°，ac==2，即ab=2ac=4，则s阴影=s△aob﹣s扇形=×4×2﹣=4﹣．
故答案为：4﹣．
点评： 此题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，以及扇形面积计算，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
18．（4分）(2023年重庆市)如图，正方形abcd的边长为6，点o是对角线ac、bd的交点，点e在cd上，且de=2ce，过点c作cf⊥be，垂足为f，连接of，则of的长为 ．
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质．菁优网版权所有。
分析： 在be上截取bg=cf，连接og，证明△obg≌△ocf，则og=of，∠bog=∠cof，得出等腰直角三角形gof，在rt△bce中，根据射影定理求得gf的长，即可求得of的长．
解答： 解：如图，在be上截取bg=cf，连接og，rt△bce中，cf⊥be，∠ebc=∠ecf，∠obc=∠ocd=45°，∠obg=∠ocf，在△obg与△ocf中。
△obg≌△ocf（sas）
og=of，∠bog=∠cof，og⊥of，在rt△bce中，bc=dc=6，de=2ec，ec=2，be===2，bc2=bfbe，则62=bf，解得：bf=，ef=be﹣bf=，cf2=bfef，cf=，gf=bf﹣bg=bf﹣cf=，在等腰直角△ogf中。
of2=gf2，of=．
点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定以及射影定理、勾股定理的应用．
24．（10分）(2023年重庆市)如图，△abc中，∠bac=90°，ab=ac，ad⊥bc，垂足是d，ae平分∠bad，交bc于点e．在△abc外有一点f，使fa⊥ae，fc⊥bc．
1）求证：be=cf；
2）在ab上取一点m，使bm=2de，连接mc，交ad于点n，连接me．
求证：①me⊥bc；②de=dn．
考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有。
专题： 证明题；几何综合题．
分析： （1）根据等腰直角三角形的性质求出∠b=∠acb=45°，再求出∠acf=45°，从而得到∠b=∠acf，根据同角的余角相等求出∠bae=∠caf，然后利用“角边角”证明△abe和△acf全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
2）①过点e作eh⊥ab于h，求出△beh是等腰直角三角形，然后求出he=bh，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得de=he，然后求出he=hm，从而得到△hem是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可；
求出∠cae=∠cea=67.5°，根据等角对等边可得ac=ce，再利用“hl”证明rt△acm和rt△ecm全等，根据全等三角形对应角相等可得∠acm=∠ecm=22.5°，从而求出∠dae=∠ecm，根据等腰直角三角形的性质可得ad=cd，再利用“角边角”证明△ade和△cdn全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
解答： 证明：（1）∵∠bac=90°，ab=ac，∠b=∠acb=45°，fc⊥bc，∠bcf=90°，∠acf=90°﹣45°=45°，∠b=∠acf，∠bac=90°，fa⊥ae，∠bae+∠cae=90°，caf+∠cae=90°，∠bae=∠caf，在△abe和△acf中，△abe≌△acf（asa），be=cf；
2）①如图，过点e作eh⊥ab于h，则△beh是等腰直角三角形，he=bh，∠beh=45°，ae平分∠bad，ad⊥bc，de=he，de=bh=he，bm=2de，he=hm，△hem是等腰直角三角形，∠meh=45°，∠bem=45°+45°=90°，me⊥bc；
由题意得，∠cae=45°+×45°=67.5°，∠cea=180°﹣45°﹣67.5°=67.
5°，∠cae=∠cea=67.5°，ac=ce，在rt△acm和rt△ecm中，rt△acm≌rt△ecm（hl），∠acm=∠ecm=×45°=22.5°，又∵∠dae=×45°=22.
5°，∠dae=∠ecm，∠bac=90°，ab=ac，ad⊥bc，ad=cd=bc，在△ade和△cdn中，△ade≌△cdn（asa），de=dn．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键，难点在于最后一问根据角的度数得到相等的角．
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