南京师大附中2014高考数学模拟题(2)
1.填空题。
1.已知，则的值等于。
2.在中，设且z，则为直角三角形的概率为。
3.已知实数、、满足：，且，则的最小值为 .
4.已知函数，若方程有且仅有三个不同的实根，则实数的取值的集合为。
5.已知r，且，设的最大值和最小值分别为，则___
6.若直线与圆交于两点，且关于直线对称，动点在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动，则的取值范围是。
7.已知函数，设，且函数的零点均在区间（，，z）内，圆的面积的最小值是___
二。解答题。
1.在中，角的对边分别为，已知，(1)求和；
(2)若，求的面积。
2.在四棱锥中，, 平面，为的中点，.
1)若为的中点，求证平面；
2)求证平面。
3. 因发生意外交通事故，一辆货车装载的某种液体泄露到一鱼塘中．为了治污，根据环保部门的建议，现决定在鱼塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放个单位的药剂，它在水中释放的浓度随着时间（天）变化的函数关系式近似为其中。
若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4时，它才能起到有效治污的作用．
1)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？
2)若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）.
4.已知椭圆上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长。
1)求椭圆的方程；
2)设，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点e, 证明直线与轴相交于定点。
3)在(2)的条件下， 过点的直线与椭圆交于两点，直线中点的横坐标为，求的范围。
5. 设（e为自然对数的底数）
1）求p与q的关系；
2）若在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；
3）若r，试讨论方程的解的个数。
6.设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（）.
(1)求数列的通项公式；
(2)试确定的值，使得数列为等差数列；
(3)当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列。 设是数列的前项和，试求满足的所有正整数。
三．理科附加题（必做部分）
1.全美职业篮球联赛(nba)某年度总决赛在雷霆队与迈阿密热火队之间角逐，比赛采用七局四胜制，即若有一队先胜四场，则此队获胜，比赛就此结束。 因两队实力相当，故每场比赛获胜的可能性相等。
据以往资料统计，第一场比赛组织者可获门票收入2000万美元，以后每场比赛门票收入比上场增加100万美元，当两队决出胜负后，问：
(1)组织者在此次决赛中要获得门票收入不少于13500万元的概率为多少？
(2)某队在比赛过程中曾一度比分落后2分以上(含2分)，最后取得全场胜利称为“逆袭”，求雷霆队“逆袭”获胜的概率；
(3)求此次决赛所需比赛场数的分布列及数学期望。
2.设a是集合的一个元子集（即由个元素组成的集合），且a的任何两个子集的元素之和不相等；而对于集合p的包含集合a的任意元子集b，则存在b的两个子集，使这两个子集的元素之和相等。
1)当时，试写出一个三元子集a.
2)当时，求证：，并求集合a的元素之和s的最大值。
参***。一．填空题。
1.答案：.
解：方法一：因为，所以。
所以填写答案为。
方法二：由题意知， 所以填写答案为：.
2.答案：.
解： 则，.
又。若为rt，则。
（舍去）.为rt的的值为-1，-2，3，而基本事件数为，.
3.答案：6.
解：由知，又可化为，故，当且仅当时取“”）
4.答案：.
解：由题意为偶函数，下设，(1)当时，.
(2)当时，.
(3)当时，.
结合为偶函数，画出的图像。
只是由的图像向右平移一个单位。
结合图像，有且仅有三个不同的实根，.
所以，的取值集合为。
5.答案：10.解：由得：
2) ,即：,能取到。
由(1)、(2)得：,由，所以，即，所以。
6.答案：.
解：由条件得与垂直，且过圆心，.
得不等式组为。
看成定点与区域内动点连线的斜率。
即的范围。7.答案：.
解：（，又，，故在r上是增函数。
的零点在内，的零点在内，的最小值为1.
圆面积最小值为。
二。解答题。
1. 答案：(1)；
(2)的面积为2.
解：(1)由，用正弦定理得。
即。又，解得：.
(2)由(1)，再由正弦定理得：.
的面积。2. 答案：(1)答案见证明(1)；
2)答案见证明(2).
证明：(1)∵在△abc中，∠abc＝90°,∠bac＝60,∴ac=2ab,又pa=2ab.
∴pa=ac，又f为pc的中点，∴af⊥pc
∵pa⊥平面abcd，∴pa⊥cd．
∵ac⊥cd，pa∩ac＝a ,∴cd⊥平面pac．∴cd⊥pc．
∵e为pd中点，f为pc中点，∴ef//cd．则ef⊥pc．
∵af∩ef＝f, ∴pc⊥平面aef.
(2)证法一：
取ad中点m，连em，cm．则em//pa．
∵em平面pab，pa平面pab，∴em//平面pab．
在rt△acd中，∠cad＝60°，ac＝am，∴∠acm＝60°．而∠bac＝60°，∴mc//ab．
∵mc平面pab，ab平面pab，∴mc//平面pab．
∵em∩mc＝m，∴平面emc//平面pab．
∵ec平面emc，∴ec//平面pab．
证法二：延长dc、ab，设它们交于点n，连pn．
∵∠nac＝∠dac＝60°，ac⊥cd，∴c为nd的中点。
∵e为pd中点，∴ec//pn．
∵ec平面pab，pn平面pab，∴ec//平面pab．
3. 答案：(1) 有效治污时间可达8天；
2)的最小值为。
解：（1）因为，所以。
则当时，由，解得，所以此时；
当时，由，解得，所以此时。
综上可得，，若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达8天。
2）当时，因为而，所以，故当且仅当时，有最小值，为。
令，解得，所以的最小值为。
4. 答案：(1) 椭圆的方程为；
2) 见证明(2)；
(3)的范围是。
解：(1)由题意知，解得，故椭圆的方程为。
2)由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为。
由得。 ①设点，，则。
直线的方程为。
令。将代入，整理，得。
由①得，代入②，整理，得。
所以，直线与轴相交于定点。
3)当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为， ,由得。
当直线的斜率不存在时，其方程为。
.则中点横坐标。
综上：的范围是。
5. 答案：(1) p=q；
2) p≥1或p≤0；
(3)时，无解；时，有一解；时，有两解。
解：(1)由题意得，又， ，
2)由(1)知：，显然，的定义域为。
令h(x)=px2－2x+p.要使g(x)在（0，+∞为单调函数，只需h(x)在（0，+∞满足：
h(x)≥0或h(x)≤0恒成立。 ，
g(x)在（0，+∞单调递减，∴p=0适合题意。
当p>0时，h(x)=px2－2x+p图象为开口向上抛物线，对称轴为x=∈（0，+∞
h(x)min==p－.只需p－≥0，即p≥1时h(x)≥0，g′(x) ≥0，g(x)在(0,+ 单调递增，∴p≥1适合题意。
当p<0时，h(x)=px2－2x+p图象为开口向下的抛物线，其对称轴为x=（0，+∞只需h(0)≤0，即p≤0时h(0)≤（0,+ 恒成立。
g′(x)<0 ，∴g(x)在（0,+ 单调递减，∴p<0适合题意。
综上①②③可得，p≥1或p≤0.
3)设，.当x∈（0，1）时，h′(x)>0，∴h(x)为单调增函数；
当x∈（1，∞）时，h′(x)<0，∴h(x)为单调减函数；
x=1为的极大值点，∴
若，即，无解；
若，即，有一解；
若，即，.在上为单调增函数，且，在上有一解；
在上为单调减函数，且。
设，则。所以，在上有一解。
即，有两解。
综合知，时，无解；时，有一解；时，有两解。
6. 答案：(1)；
解：（1）由题意，则，解得（舍），则，又，所以。
（2）当时，，得，当时，，得，当时，，得，则由，得，而当时，，得，由（常数）知此时数列为等差数列，故。
3）由（1），（2），知。
由题意知，
则当时，，不合题意，当时，，适合题意。
当时，若，则一定不适合题意，从而必是数列中的某一项，则，所以，即， 所以。
为奇数，而为偶数，所以上式无解。
即当时，.综上知，满足题意的正整数仅有。
三．理科附加题（必做部分）
1. 答案：(1)0.625；
南师附中高三数学国庆假作业
一 填空题。1.下列命题中真命题的个数有 个 2 2.若集合m p 则m p等于y y 0 3.函数y ax在 0，1 上的最大值与最小值的和为3，则a等于。解析一 当a 1时，y ax为单调递增函数，在 0，1 上的最值分别为ymax a1，ymin a0 1，a 1 3即a 2.当0 a 1时，...
南师附中高三数学国庆假作业
班级姓名。一 填空题 1 设集合，则。2 幂函数y f x 的图象经过点，则满足f x 27的x的值是 3 已知函数则的值是。4 是 实系数一元二次方程有两异号实根 的条件 填 充分不必要 必要不充分 充要 或者 既不充分又不必要 充要。5 已知函数在 0，要上单调递增，则。填写 之一 6 方程的根...
南师附中高三数学国庆假作业
班级姓名。一 填空题 1 设集合。2 是 的条件。充分不必要。3 下列四个命题 其中真命题的序号是。4 若函数的定义域为，则的取值范围是。5 若函数在区间内有且只有一个零点，那么实数a的取值范围是。6 已知函数是定义在r上的奇函数，当，则不等式的解集是。7 函数f x x2 a 在区间 1,1 上的...