课时作业3 归纳推理。
a组基础巩固。
一、选择题。
1．下列关于归纳推理的说法中错误的是( )
a．归纳推理是由一般到一般的一种推理过程。
b．归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程。
c．归纳推理得出的结论具有偶然性，不一定正确。
d．归纳推理具有由具体到抽象的认识功能。
答案 a2．由数列1,10,100,1 000，…猜测该数列的第n项可能是( )
a．10nb．10n－1
c．10n＋1 d．11n
答案 b3．观察下列各等式：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )
a.＋＝2b.＋＝2
c.＋＝2d.＋＝2
解析观察等式知，左边分子之和等于8，分母之和等于0，右边都是2，只有选项a适合。
答案 a4．已知数列满足a0＝1，an＝a0＋a1＋a2＋…＋an－1(n≥1)，则当n≥1时，an等于( )
a．2n b. n(n＋1)
c．2n－1 d．2n－1
解析 a0＝1，a1＝a0＝1，a2＝a0＋a1＝2a1＝2，a3＝a0＋a1＋a2＝2a2＝4，a4＝a0＋a1＋a2＋a3＝2a3＝8，…，猜想n≥1时，an＝2n－1。
答案 c5．如图是元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )
a. b. c. d.
解析该五角星相连两个角上的灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是a。
答案 a6．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：图1图2
他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
a．289 b．1 024
c．1 225 d．1 378
解析观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为，则a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，an＝an－1＋n。
所以a1＋a2＋…＋an
(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)an＝1＋2＋3＋…＋n＝，观察正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为，则bn＝n2。把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1 225。
答案 c二、填空题。
7．顺次计算数列：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，……的前4项的值，由此猜测：
an＝1＋2＋3＋…＋n－1)＋n＋(n－1)＋…3＋2＋1的结果为___
解析 a1＝1＝12，a2＝1＋2＋1＝4＝22，a3＝1＋2＋3＋2＋1＝9＝32，a4＝1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，由此可以猜想an＝n2。
答案 n28．由三角形的内角和是180°，凸四边形的内角和是360°＝2×180°，凸五边形的内角和是540°＝3×180°，归纳出结论。
答案凸n边形的内角和是(n－2)×180°(n≥3)
9．观察以下各等式：
sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝，sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝，sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝。
分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，为。
答案 sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝
三、解答题。
10．设an是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0(n≥1，n∈n)，试归纳出这个数列的一个通项公式。
解当n＝1时，a1＝1，且2a－a＋a2·a1＝0，即2a＋a2－1＝0，解得a2＝；
当n＝2时，由3a－2()2＋a3＝0，即6a＋a3－1＝0，解得a3＝，由此猜想：an＝。
11．已知：sin230°＋sin290°＋sin2150°＝，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝，通过观察上述等式的规律，请写出一般性的命题并给出(*)式的证明。
解一般式为：
sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝
证明如下：左边＝＋＋
－[cos2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)]
－(cos2α＋cos2αcos120°－sin2αsin120°＋cos2αcos240°－sin2αsin240°)
＝右边，所以sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝成立。
注：将一般式写成sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝等均正确。)
b组能力提升。
1．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )
a．an＝3n－1 b．an＝3n
c．an＝3n－2n d．an＝3n－1＋2n－3
解析 ∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，猜想an＝3n－1。
答案 a2．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表。设aij(i，j∈n*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行中的从左往右数第j个数，如a42＝8，若aij＝2 015，则i与j的和为( )
a．107 b．108
c．109 d．110
解析由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2 015＝2×1 008－1，所以2 015为第1 008个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1 024，故2 015在第32个奇数行内，所以i＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1 923,2 015＝1 923＋2(j－1)，所以j＝47，即i＋j＝63＋47＝110。
答案 d3．已知a，b为正整数，设两直线l1：y＝b－x与l2：y＝x的交点为p1(x1，y1)，且对于n≥2的自然数，两点(0，b)，(xn－1,0)的连线与直线y＝x交于点pn(xn，yn)。
1)求p1，p2的坐标；
2)猜想pn的坐标公式。
解 (1)解方程组得p1。
过(0，b)，两点的直线方程为＋＝1，与y＝x联立解得p2。
2)由(1)可猜想pn。
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