太仓市感知教育网络学校2023年署假练习卷第___3__卷。
___高二__年级___数学___学科班级姓名。
上课时间： 月日—— 月日时分到时分
一、填空题：
1．已知等差数列的公差为，若成等比数列，则。
2．设数列都是等差数列，若，则。
3．等比数列中，已知，则。
4．已知等比数列的公比为正数，且，则。
5．等差数列中，若，则。
6.设等差数列的前项和为，若，则。
7． 已知数列满足，则。
8．已知是首项为，公差为的等差数列，.若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是。
9.已知为等差数列，，以表示的前项和，则使得达到最大值的是
10．已知数列是以为公差的等差数列，是其前项和，若是数列中的唯一最小项，则数列的首项的取值范围是。
11.已知数列与均为等比数列，且则。
12.数列的各项都是整数，满足，前项依次成等差数列，从第项起依次成等比数列，则数列前项的和是
13.记等比数列的前项积为，已知，且，则。
14．等差数列的前n项和为，且，记，如果存在正整数，使得对一切正整数，都成立．则的最小值是。
二、解答题：
15.已知数列中，
（1）求的值； （2）求；
3）设，求的最小值。解：（1
的对称轴为，由于，所以当，最小。
16.已知等差数列的首项，公差，数列是等比数列，且满足。
1）求数列和的通项公式；
2）设数列对均有，求的值。
解：（1）由已知可得：
所以由此解得因此
因为所以数列以1为首项，3为公比的等比数列
由此解得 2）当时所以。
当时所以。所以。
17.设数列的前项和为，且满足。
1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，且，求数列的通项公式；（3）设，求数列的前项和为。
解：（1）因为n=1时，+=2,所以=1.
因为=2-,即+=2,所以+=2.
两式相减：-+0,即-+=0,故有=.
因为≠0,所以=( n∈).
所以数列是首项=1,公比为的等比数列，=(n∈).
2）因为=+(n=1,2,3,),所以-=.从而有
1,=,n=2,3,).
将这n-1个等式相加，得
又因为=1,所以=3-( n=1,2,3,).
3）因为=n (3-)=
所以=. -②,得=-.
故=-=8--=8-( n=1,2,3,).
18.已知数列满足，且对任意都有。
1）求 2）设，证明：是等差数列；
3）设，求数列的前项的和。
解：（1）由题意，令m＝2，n＝1，可得＝－＋2＝6，再令m＝3，n＝1，可得＝－＋8＝20．
2）当n∈时，由已知(以n＋2代替m)可得＋＝＋8，于是[－]8，即－＝8．
所以是公差为8的等差数列．
3）由（1）（2）可知是首项＝－＝6，公差为8的等差数列，则＝8n－2，即－＝8n－2．
另由已知(令m＝1)可得，＝－那么。
＝－2n＋1＝－2n＋1＝2n，于是＝．
当q＝1时，＝2＋4＋6＋…＋2n＝n (n＋1)．
当q≠1时，＝2·＋4·＋6·＋…2n·，两边同乘以q，可得＝2·＋4·＋6·＋…2n·．
上述两式相减，得。
－2n＝－2n＝，所以＝．
综上所述，＝
19．已知数列的首项为，前项和为，且满足，数列满足。
1）求数列的通项公式；
2） 当时，试比较与的大小，并说明理由；
3） 已知直线的一个方向向量为，试判断：当时，向量是否可能恰为直线的方向向量？请说明你的理由。
解：（1）由… (1) ，得… (2)，由 (2)-(1) 得
整理得 ，.
所以，数列，，，是以4为公比的等比数列。
其中，所以，.
2）由题意，.
当时，所以，.
3）由题意，直线的方向向量为，假设向量恰为该直线的方向向量，则有 ，当时，，，向量不符合条件；
当时，由。而此时等式左边的不是一个整数，而等式右边的是一个整数，故等式不可能成立。 所以，对任意的，不可能是直线的方向向量。
20.已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，数列满足，为数列的前项和．
1）求数列的通项公式和数列的前项和；
2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）（法一）在中，令，得即
解得，又时，满足，
法二）是等差数列，
由，得。又，，则．
求法同法一)
2）①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．
等号在时取得。
此时需满足。
当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．
是随的增大而增大， 时取得最小值．
此时需满足。
综合①、②可得的取值范围是．
若成等比数列，则，即。
由，可得，即，又，且，所以，此时．
因此，当且仅当， 时，数列中的成等比数列．
另解：因为，故，即，（以下同上）．
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