第三章上机题作业。
1（p111）解：编程实现矩阵的lu分解以及回代和前代过程的函数文件程序如下：
function [a,l,u,x,x1]=ex0301(a,b)
算法3.5，用高斯消去过程进行lu分解。
n=length(a);
for k=1:n-1
for i=k+1:n
a(i,k)=a(i,k)/a(k,k);
for j=k+1:n
a(i,j)=a(i,j)-a(i,k)*a(k,j);
end end
end[n,n]=size(a);
l=zeros(n,n);
u=zeros(n,n);
l(1,1)=1;
u(1,1)=a(1,1);
l(2:n,1)=a(2:n,1);
u(2:n,1)=0;
l(1,2:n)=0;
u(1,2:n)=a(1,2:n);
for i=2:n
l(i,1:i-1)=a(i,1:i-1);
u(i,1:i-1)=0;
l(i,i)=1;
u(i,i)=a(i,i);
l(i,i+1:n)=0;
u(i,i+1:n)=a(i,i+1:n);
end%算法3.2实现回代过程。
for i=n:-1:1
x(i)=b(i);
for j=n:-1:i+1
x(i)=x(i)-u(i,j)*x(j);
endx(i)=x(i)/u(i,i);
end%算法3.7实现前代过程。
for p=1:n
x1(p)=b(p);
for q=1:p-1
x1(p)=x1(p)-l(p,q)*x1(q);
endendal
uxx1输入：
a=[1,2,2;4,4,2;4,6,4]; b=[1;2;3]; ex0301(a,b)
得程序运行结果为：a =
l =u =x =x1 =
2（p111）解：用算法3.9编写部分选主元的lu分解和高斯消去法程序如下：
function [p,l,u] =ex0302(a)
算法3.9，用部分主元高斯消去法进行lu分解。
n=length(a);
p=eye(n);
for k=1:n-1
s=k;for i=k:n
if abs(a(i,k))>abs(a(s,k))
s=i;end
endif s~=k
b=a(s,1:n);
a(s,1:n)=a(k,1:n);
a(k,1:n)=b;
q=p(s,1:n);
p(s,1:n)=p(k,1:n);
p(k,1:n)=q;
endfor i=k+1:n
a(i,k)=a(i,k)/a(k,k);
for j=k+1:n
a(i,j)=a(i,j)-a(i,k)*a(k,j);
endend
endn,n]=size(a);
l=zeros(n,n);
u=zeros(n,n);
l(1,1)=1;
u(1,1)=a(1,1);
l(2:n,1)=a(2:n,1);
u(2:n,1)=0;
l(1,2:n)=0;
u(1,2:n)=a(1,2:n);
for i=2:n
l(i,1:i-1)=a(i,1:i-1);
u(i,1:i-1)=0;
l(i,i)=1;
u(i,i)=a(i,i);
l(i,i+1:n)=0;
u(i,i+1:n)=a(i,i+1:n); endp
lu输入：a=[1,2,2;4,4,2;4,6,4];ex0302(a)
得程序运行结果为：p =
l =u =6（p111）解：编程生成hilbert矩阵的程序如下：
function h=hilbert(n)
生成hilbert矩阵h
h=zeros(n);
for i=1:n
for j=1:n
h(i,j)=1/(i+j-1);
endend
用cholesky分解算法求解方程，得到近似解的程序如下：
function x1=cholesky(n)
cholesky分解算法得近似解的值。
h=zeros(n);
for i=1:n
for j=1:n
h(i,j)=1/(i+j-1);
endend
计算n维向量b
x1=ones(n,1);
b=h*x1;
l=zeros(n);
l(1,1)=sqrt(h(1,1));
for i=2:n
l(i,1)=h(i,1)/l(1,1);
endfor j=1:n
sum1=0;
for k=1:j-1
sum1=sum1+(l(j,k))^2;
endl(j,j)=sqrt(h(j,j)-sum1);
for i=j+1:n
sum2=0;
for k=1:j-1
sum2=sum2+l(i,k)*l(j,k);
endl(i,j)=(h(i,j)-sum2)/l(j,j);
endend
执行前代过程，求解l*y=b
y=zeros(n,1
for p=1:n
y(p)=b(p);
for q=1:p-1
y(p)=y(p)-l(p,q)*y(q);
endend
%执行回代过程，求解l'*x=y
l=lx=ones(n,1);
for i=n:-1:1
x(i)=y(i);
for j=n:-1:i+1
x(i)=x(i)-l(i,j)*x(j);
endx(i)=x(i)/l(i,i);endx
计算残差和误差的无穷大范数的程序如下：
function [r,e] =fanshu(n)
计算残差和误差的无穷大范数。
x1=ones(n,1);
h=hilbert(n);
b=h*x1;
x=cholesky(n);
r=b-h*x;
e=x-x1;
r]=max(abs(r))
e]=max(abs(e))
1）n=10时，输入：[r,e] =fanshu(10)，结果为：r=
e=1.4089e+013
2) 施加扰动之前，程序如下：
x1=ones(n,1);
h=hilbert(n);
b=h*x1;
x=cholesky(n);
r=b-h*x
e=x-x1
得残差和误差的结果为：
r =-0.0000 0.0552 1.5201 2.9960 2.0888
e =1.0e+013 *0.0000 -0.0003 0.0069 -0.0638 0.3075
施加扰动之后，程序如下：
x1=ones(n,1);
h=hilbert(n);
b1=h*x1;
b2=zeros(n,1);
b2(n,1)=1e-7;
b=b1+b2;
x=cholesky(n)；
r=b-h*x
e=x-x1
得残差和误差的结果为：
r =-0.0000 0.0552 1.5201 2.9960 2.0888
e =1.0e+013 *0.0000 -0.0003 0.0069 -0.0638 0.3075
由程序运行结果可知，残差和误差基本上无变化。
3）n=8时，输入：[r,e] =fanshu(8)，结果为：r=
e=2.7407e+009
n=12时，输入：[r,e] =fanshu(12)，结果为：r=
e=5.1781e+016
通过这个实验说明n越大，残差和误差就越大，从而影响线性方程组求解问题的敏感性。
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