尹康。数值积分部分：
1. 判断题。
1)如果函数在有限的区间上连续，则它的riemann定积分一定存在； ×
2) 积分的计算总是好条件的问题。
3) 代数精度是衡量算法稳定性的重要指标。
4) 梯形方法与两个节点的gauss型方法相比会更加精确。
2. 确定如下两个数值积分公式中的参数，使它有尽可能高的代数精度。
(a) b)
解：a) ∵n=2，∴其最大代数精度m=2×n+1=5
即上式对不高于5次的多项式都精确成立。
分别令f(x)=1,f(x)=x,f(x)= 得。解得。
b) ∵n=2，∴其最大代数精度m=2×n+1=5
即上式对不高于5次的多项式都精确成立。
分别令f(x)=x,f(x)=
得。解得=(1-)/5
3. 取n=8,16,32，分别用梯形公式和simpson公式计算如下的积分：
ab)上述积分的值舍入到六位分别为： (a) -0.24974, (b) 1.38629
解：h=(b-a)/n
梯形公式：h
simpson公式：
matlab编程：
函数simpson：
function y=simpson(f,a,b,n)
h=(b-a)/n;
x=linspace(a,b,2*n+1);
y=f(x);
y=h/6*(f(a)+f(b)+2*sum(y(3:2:2*n-1))+4*sum(y(2:2:2*n)))
end函数ladder：
function y=ladder(f,a,b,n)
x=linspace(a,b,n);
y=f(x);
y=trapz(x,y);
end主程序：
clcf=inline('x.*log(x)')
g=inline('1./x');
n=[8,16,32];
syms x;
f0=eval(int(x*log(x),0.01,1));
g0=eval(int(1/x,1,4));
for i=1:3
f1=ladder(f,0.01,1,n(i))
f2=simpson(f,0.01,1,n(i))
g1=ladder(g,1,4,n(i))
g2=simpson(g,1,4,n(i))
end计算结果为：
以上结果说明，就本例而言，simpson公式的精度是高于梯形公式的。
4. 证明数值积分公式。
的代数精度为5。
解：令f(x)=
上式左端=2=右端。
令f(x)=x
上式左端=0=右端。
令f(x)=
上式左端=2/3=右端。
令f(x)=
上式左端=0=右端。
令f(x)=
上式左端=2/5=右端。
令f(x)=
上式左端=0=右端。
令f(x)=
上式左端=2/7右端=10/9×=6/25，等式不成立。
故上述数值积分公式的代数精度为5
得证。常微分方程初值部分：
1. 判断题。
1) 常微分方程初值问题的解，当右端函数可导时一定是存在唯一的。
2) 一个算法局部截断误差的阶就等于它全局误差的阶。
3) 算法的阶越高，由它得到的数值计算结果就越精确。
4) 显示方法的突出优点是收敛速度快，收敛阶高。
5) 一个好的算法，或者稳定性好，或者收敛阶高。
6) 隐式方法的优点是计算稳定性好，缺点是每步计算的代价高。
2. 有euler方法求解方程如果取
证明如果将初值改为试给出euler迭代解的表达式。
分析与的差说明了什么问题。
解：1) 据显式欧拉公式： =
1+10h)
故得证。2)由(1)易得： =
上式说明，利用显式欧拉公式求常微分方程的数值解时，如果给初值点一个扰动扰动，且产生的相对误差均与初值点的相同。
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