《大学物理》作业 no.2 波动方程
一、选择题。
1. 把一根十分长的绳子拉成水平，用手握其一端。维持拉力恒定，使绳端在垂直于绳子的方向上作简谐振动，则。
b ] a) 振动频率越高，波长越长b) 振动频率越低，波长越长。
c) 振动频率越高，波速越大d) 振动频率越低，波速越大。
解：拉力恒定，则波速恒定，。越大，越小； 反之越小，越大。
2. 在下面几种说法中，正确的说法是：
c ] a) 波源不动时，波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的。
b) 波源振动的速度与波速相同。
c) 在波传播方向上的任一质点振动相位总是比波源的相位滞后。
d) 在波传播方向上的任一点的振动相位总是比波源的相位超前。
解：波动的周期在数值上等于波源振动的周期；波源振动的速度与波速完全不同；在波传播的方向上，质点振动的位相依次落后，所以任一点的振动相位都落后于波源的相位。
3. 一简谐横波沿ox轴传播。若ox轴上p1和p2两点相距/8 (其中为该波的波长)，则在波的传播过程中，这两点振动速度的。
c ] a)方向总是相同b)方向总是相反；
c)方向有时相同，有时相反； (d)大小总是不相等。
解：p1和 p2两点位相差，
这两点的振动速度方向有时相同，有时相反。
4. 图示为一沿x轴正向传播的平面简谐波在t＝0时刻的波形。若振动以余弦函数表示，且此题各点振动初相取到之间的值，则。
a ] a) 1点的初位相为。
b) 0点的初位相为。
c) 2点的初位相为。
d) 3点的初位相为。
解：t＝0时，各点旋转矢量位置如图所示，可见。
5. 一简谐波沿ox轴正方向传播，t＝0时刻波形曲线如左下图所示，其周期为2 s。则p点处质点的振动速度v与时间t的关系曲线为：
a ]解：由波形曲线可知p点振动初相，p点的振动方程为。
p点的振动速度。
t＝0时，，可见为曲线(a)。
6. 一平面简谐波在弹性介质中传播，在介质质元从平衡位置运动到最大位移处的过程中：
d ] a) 它的动能转换成势能；
b) 它的势能转换成动能；
c) 它从相邻的一段质元获得能量，其能量逐渐增大；
d) 它把自己的能量传给相邻的一段质元，其能量逐渐减小。
解：介质元处在平衡位置时，动能和势能都是最大。从平衡位置向最大位移运动过程中，能量减少，把能量传给相邻的一段质元。
二、填空题。
1. 一个余弦横波以速度u沿x轴正向传播，t时刻波形曲线如图所示。试分别指出图中a、b、c各质点在该时刻的运动方向。a 向下 ；b 向上 ；c 向上 。
解：由波传播的方向可以画出下一时刻t + dt的波形曲线(虚线)，由图可见，a点将向下运动，b点和c点将向上运动。
2. 一平面简谐波，波速为6.0m/s，振动周期为0.1s，则波长为 0.6m 。在波的传播方向上，有两质点的振动相位差为，此两质点相距为 0.25m 。
解：由可得，由，得
3. 一平面简谐波的表达式，其中x/u表示波从坐标原点传至x处所需时间；表示x处质点比原点处质点滞后的相位；y表示t时刻x处质点的振动位移。
4. 一简谐波沿bp方向传播，它在b点引起的振动方程为。另一简谐波沿cp方向传播，它在c点引起的振动方程为。
p点与b点相距0.40m，与c点相距0.5m(如图)。
波速均为u＝0.20ms-1。则两波在p的相位差为 0 。
解：由振动方程可知，所以，两波在p点引起的位相差为。
5. 某时刻一横波波形曲线如图所示。
1) 试分别用矢量符号表示图中a、b、c、d、e、f、g、h、i等质点在该时刻的运动方向；
2) 画出四分之一周期后的波形曲线。
解：答案见图(1)，图(2)。
6. 如图所示，一平面简谐波沿ox轴正方向传播，波长为，若点处质点的振动方程为，则点处质点的振动方程为，与点处质点振动状态相同的那些点的位置是。
解：由得波动方程。
代入得。与点状态相同的x点满足
三、计算题。
1. 一平面简谐波沿x轴正向传播，振幅a=10cm，圆频率，当t＝1.0 s时，x＝10cm处的a质点振动状态为；此时x＝20cm处的b质点振动状态为。
设该波波长，求波的表达式。
解：由波的表达式为，则。
由，得1)由，得 ……2)
1)、(2)两式相减，得，代入(1)式，得，所以波的表达式为si)
2. 一列平面简谐波在介质中以波速u = 5ms-1沿x轴正向传播，原点o处质元的振动曲线如图所示。
1) 画出x＝25m处质元的振动曲线。
2) 画出t＝3s时的波形曲线。
解：(1)o点振动方程为。
波动方程为(si)
将x＝25m代入上式，得该处振动方程
(si) 曲线如图(1)所示。
2)将t＝3s代入波动方程，得波形方程。
波形曲线如图(2)所示。
3. 如图所示为一平面简谐波在t＝0时刻的波形图，设此简谐波的频率为250hz，且此时质点p的运动方向向下，求。
1) 该波的波动方程；
2) 在距原点o为100m处质点的振动方程与振动速度表达式。
解：(1)由于p点向下运动，可以判定波向(－x)传播。根据旋转矢量图可知o点振动初相，所以o点的振动方程为。
又，波动方程为(si)
2) 将x＝100m代入上式，得该处的振动方程 (si)
振动速度表达式为(si)
将x＝-100m代入上式，得该处的振动方程 (si)
振动速度表达式为(si)出师表。
两汉：诸葛亮。
先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。
宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。
侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。
将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰“能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。
亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。
臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。
先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。
此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。至于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、祎、允之任也。
愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。若无兴德之言，则责攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。臣不胜受恩感激。
今当远离，临表涕零，不知所言。
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