目录。一．问题重述 1
二．模型的假设 2
三．文章中所涉及的变量和符号说明 2
四．问题分析 3
五．模型的建立与求解 3
目标函数 3
约束条件 3
模型求解 5
问题（1）的求解 5
问题（2）的求解 6
一月份**方案 7
四月份**方案 7
六．模型的进一步分析与讨论 8
七．模型应用与推广 8
八．参考文献 9
九．附录 10
附录内容 10
一．问题重述。
某企业主要生产一种轻工艺品，在现有的营销策略下，年初对上半年6个月的产品需求**如表1所示。
表1 产品需求**估计值（件）
1月初工人数为12人，工人每月工作20天，每天工作8小时，按规定，工人每个月加班时间不得超过15个小时。1月初的库存量为200个。产品的销售**为240元/件。
该产品的销售特点是，如果当月的需求不能得到满足，顾客愿意等待该需求在后续的某个月内得到满足，但公司需要对产品的**进行打折，可以用缺货损失来表示。6月末的库存不大于150个。各种成本费用如表2所示。
表2 产品各项成本费用。
（1）若你是公司决策人员，请建立数学模型并制定出一个成本最低、利润最大的最优产销方案；
（2）公司销售部门**：在计划期内的某个月进行降价**，当产品**下降为220元/件时，则接下来的两个月中8%的需求会提前到**月发生。试就一月份（淡季）**和四月份（旺季）**两种方案以及不**最优方案（1）进行对比分析，进而选取最优的产销规划方案。
二．模型的假设。
由于市场的不稳定性和一些问题的不确定性，我们做出以下的假设：
1）员工生产过程中一切正常，即没有病假和请假情况等。
2）不根据合同法的相关规定，在期初解雇员工、招聘员工。
3）本题中给定的数据均为定值。
4）培训期间，员工正常生产。
三．文章中所涉及的变量和符号说明。
生产月份；六个月的销售总额。
六个月的总成本。
六个月的总利润值。
月份的人力规模，
月初雇佣的员工数
月初解雇的员工数，
月份工人生产的产品数量，
月份末的存货量，
月份末的缺货量，
月份的外包产品数量，
月份的加班工时数，
月份的市场需求量，
四．问题分析。
根据题意要求建立数学模型并制定出一个成本最低、利润最大的最优产销方案；其中成本有：当月员工薪水、解雇员工的解雇费、培训员工费用、员工加班费用、原材料购买费用、产品外包费用、存库产品费用、缺货费用。利润计算公式：
“利润=总销售额—总成本”。
根据以上分析，建立线性规划模型：
根据该模型求解问题。
5．模型的建立与求解。
1)目标函数：
2)约束条件：
约束条件1： 通过分析可知月工人人数与当月初解雇人数之和应该等于上月工人人数与当月初雇佣人数之和，由此得到：
约束条件2 ：1月初的工人人数为12，由此得到：
约束条件3 ：为月份的工人数，而每个月工人工作20天，每天工作8小时，每生产一件产品需要1.6小时，因此每个员工正常工作一个月能生产的产品数为100件，考虑到加班情况，表示每月所有工人加班总工时，因此每月加班能生产的产品数为，而每月总的生产能力应该要大于实际生产的产品数，所以得到：
约束条件4 ：月份能提供的总的产品数应该是上月存货量、当月工人生产量与当月外包数量之和，月份需要的产品总数为当月需求量、上月的缺货量与当月存储量之和，而月份需要的产品数与当月能提供的产品数之差就是当月的缺货量，通过变形便得到：
约束条件5 ：由题意可知，1月初的缺货量、6月末的缺货量为月末的存货量不大于150件，因此得到：
约束条件6 ：因为1月初的存货量为200，得到：
约束条件7： 因为每个工人每个月加班时间不得超过15小时，所以得到：
约束条件8 ：因为6月末的库存不大于150，而且不允许缺货，因此所有能生产的产品数与1月的存货量之和应该满足约束条件：
此外，计划期间的市场需求量是常量，可以用需求矩阵表示 ：
约束条件综合：
模型求解：问题（1）的求解：
根据目标函数、约束条件并考虑实际应用中有些决策变量只能取整数，利用lingo软件编写语句可以得到最优解，该公司的总生产计划如下所示：
表3 总生产计划表。
得到最小成本的最优解为841440.0元，而产品的销售**为240元/件，则计划期间的销售收入为：1740000.0元；
计划期间的利润为1740000.0-841440.0=898560.0元。
问题（2）的求解：
问题（2）利用的仍是问题（1）的模型，只是每月需求量有变化，一月份**方案中接下来的两个月中8%的需求会提前到当月，于是得到：
一月份需求矩阵：
四月份需求矩阵：
因此得到两种**方案的预计产品需求量为：
表 4 一月和四月**方案的预计产品需求量。
利用前面给出的成本最小规划模型，将相关参数值代入该模型进行求解，得到一月份**方案和四月份**方案的结果分别为：
一月份**方案：
总成本为841420.0元；
销售收入为元1716400.0元；
利润为1716400.0-841420.0=874980.0元。
各期间生产计划安排如下表：
表5 一月份**方案中各期间生产计划安排表。
四月份**方案：
总成本为842054.0元。
销售收入为元1709680.0元；
利润为1709680.0-842054.0=867626.0元。
各期间生产计划安排如下表：
表6 四月份**方案中各期间生产计划安排。
各方案需求量的折线图比较：
从以上的计算机结果和图表可以看出，降价**会引起总销售收入的减少，但**带来的增长使需求量的变化变得平稳引起总成本的下降。一般在淡季进行**时总成本下降的幅度较大，使需求量平稳的同时生产的安排也更加平稳。从利润最大化考虑，不**方案还是最优产销方案。
六．模型的进一步分析与讨论。
模型的结果分析：从上述各方案得到的结果来看，使用不**方案时获得的利润最大。当然，这个结果是基于多个问题假设为真的情况下得出的。
这是一种较理想的情况，在实际情况中，这个模型有一定的局限性。
讨论模型中的假设：首先，实际生产中，每个员工的身体状况、工作效率不可能时刻达到最佳状态，这就会造成工作时间的不确定，这是无法在数学计算中解出来的。
其次，假设给定的数据均为定值也是不合理的。因为需求量在实际生活中受到很多因素的影响。比如**、市场竞争等等，这些都是不确定因素，会导致产品的预计需求量不稳定。
虽然这里建立的模型与实际产销还存在一定的差距，因为建模的过程我们做了一些简化和假设，也忽略了一些因素，不过得到的结论与经济学经验是相吻合的，此模型对于我们仍有很大的指导作用。
模型的评价：
优点：1）考虑影响产品的产销情况的各个因素，得到的结果也是比较合理的。
2）模型的建立很符合问题的需要，运用了线性规划来解决问题，使问题简单化。
缺点：1）忽略了员工培训所需要的时间，认为培训期间已经上岗工作。
2）过于理想化的模型缺乏一定的合理性，不能完全与实际情况相符合，存在一定的误差。
七．模型应用与推广。
本模型具有很好的推广前景。在我们编写的过程中，一切本着简单清晰的原则，尽可能根据实际需要设变量，列函数。模型的通用性较好，解题的效率高，一些已知条件变化了之后，仍然能够很快地求出结果，说明模型具有普遍存在的意义，并期望解题效率颇高。
譬如，当月的需求不能得到满足时，用缺货损失来表示公司对产品的打折，反映了需求量对**的影响。
此外，本模型在企业做好市场调查、确定销售方案时具有很好的指导作用。在短期的企业利益来看，无**时的方案最好。虽然**时企业获得的利润相对无**时少，但由利润和成本柱状图显示，如果这两种方案总体的成本和利润值相差不多，企业可以接受的话，选择**方案有利于企业的长期发展，提高企业知名度和形象，也有利于企业进一步扩大市场。
1】边馥萍、侯文华、梁冯珍编著《数学模型方法与算法》，高等教育出版社起止页码：109-114页 2005.5 。
2】邬学军、周凯、宋军全编著《数学建模竞赛-辅导教程》，浙江大学出版社起止页码：73-118页 2009.8。
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