安全飞跃大象。
摘要。本文针对确定纸箱的尺寸大小及数目问题，建立了基于能量守恒的数学模型。首先根据概率统计中的原则，确定出了纸箱所在区域的大小，然后充分利用牛顿定律，将问题简单明了化，将纸盒的受力转化为纸盒边棱受力，再进行分析纸箱吸收能量的大小时，引进一个新的定量-吸收能量密度，将纸盒吸收的能量与边棱联系起来，最终给出了纸箱的大小及数目的表达式，并根据具有代表性的一些数据，算出了纸箱大小及数目的具体数值。
还在不同的重量组合的情况下对模型进行了推广。并且对不同堆积纸箱方式的比较，得出了较为合理的堆积方式。
关键词：能量守恒、牛顿定律、原则。
1问题重述。
影片在拍摄过程中，需要录入特技演员驾驶着摩托车，飞跃一头大象的镜头。为了保证特技演员的安全，最终摩托车会跌落在用以缓冲的一堆纸箱上。
在保护特技演员并且要使用相对较少的纸箱的前提下，确定所需纸箱的大小、数目、堆放方法及确定通过对纸箱的各种调整，会不会对问题有所帮助。然后再将模型推广到不同组合重量（特技演员和摩托车的组合）和不同跨越高度时的情形。
2问题分析。
特技演员驾驶摩托车飞跃大象后跌落在纸箱上的情形，可以分为两个部分来研究。首先是特技演员驾驶摩托车的飞跃过程，此过程可作为物体的平抛过程，用牛顿定律即可进行分析讨论。其次，再对纸箱进行讨论。
通过研究纸箱的受力，再由能量守恒的原理就可以得出纸箱的大小及数目，从而可以讨论不同重量组合和不同跨越高度的情形。
3模型假设。
1、假设特技演员和摩托车为一个整体。
2、假设所有纸箱都是由相同的材料制成的，属性相同。
3、假设纸箱的成本与纸箱的总的表面积成正比。
4、假设纸箱为正方体。
4符号说明。
摩托车水平方向的速度。
摩托车竖直方向上的速度。
摩托车的初始速度。
摩托车的末速度与水平方向的夹角。
特技演员和摩托车的总质量。
特技演员和摩托车总的阻力系数。
摩托车初始时距地面的高度。
纸箱的总高度。
纸箱的边长。
损坏纸箱时所需的总能量。
纸箱的压力转换系数，本文中取1.5
摩托车与纸箱的接触面积。
纸箱吸收能量密度。
纸箱的边压强度，本文中取2000
5模型建立及求解。
5.1特技演员飞跃纸箱。
把特技演员和摩托车看作一个整体，并且考虑进空气阻力的影响，可以得微分方程组：
假设摩托车的瞬时速度，特技演员和摩托车的总质量为，从而可以得出阻力系数。
一般的大象高约3米，躯体长约为5 米，象鼻长约为2米，为了保证特技演员飞跃时的安全，假定跳台的高度约为5米。
用matlab解方程组（1）、（2）、（3），可以得到飞跃大象时的抛物线，如图1所示。
图1红色的抛物线—不计空气阻力；绿色的抛物线—计空气阻力）
通过比较两条曲线，可以看出考虑空气阻力时的抛物线和没有考虑空气阻力时的抛物线误差很小，因此可以忽略空气阻力的影响。在跳台高度为h，初始速度为的情况下，根据牛顿定律可以得出落地点与跳跃点的水平距离为米。
5.2确定纸箱所在区域。
纸箱所在区域可以根据摩托车的着陆点来确定。
摩托车多次飞跃大象后的着陆点服从正太分布。根据原则，落在区间中的概率为0.9973，落在该区间外的概率为0.0027，也就是说摩托车几乎不可能落在区间之外。
由此可通过方程算出纸箱的所在区域：
经计算可得此区域的长为4.5米，宽为6米。
5.3纸箱大小及数目的确定。
一个纸箱可以分为三个部分来承受冲击力，上层表面、侧表面和垂直边缘。因此损坏纸箱所需能量可表示为。
上表面和侧表面受到的力远远小于垂直边缘受到的力，因此上式可以简化为。
记损坏纸箱垂直边缘所需能量为；损坏纸箱上层表面所需能量为，则。为转换系数。
损坏纸箱上层表面所需的能量与纸箱的高度成反比，纸箱的边压强度，可得出，则。
则可推出4）
是摩托车与纸箱的接触面积。
指纸箱的总高度。
5.3.1纸箱的尺寸大小。
为了解决问题，定义一个新的常量——纸箱的吸收能量密度。吸收能量密度反应的是一个平均的缓冲能力。
的表达式定义为5）
是摩托车在撞击纸箱时纸箱被击穿时吸收掉的能量。
指在撞击时纸箱原来的体积。
由牛顿定律可知：
联立（4）、（5）、（6）式可得：
当、、、时，可得纸箱的长度为，总高度为。
5.3.2纸箱的数目。
在摩托车飞越大象这一特技中，已经确定了摩托车的着陆点，该地区是长为4.5米，宽为6米的区域。考虑到摩托车在撞击过程中水平方向还有速度，所以在水平方向又额外的添加了米的距离，以保证着陆时特技演员的安全。
由（7）式可得，将其带入可得。
由此可得出：
需要的纸箱的层数为。
宽度上需要的纸箱个数为。
长度上需要的纸箱个数为。
所以，所需纸箱的总个数为。
当，时，纸箱的总数为。
5.3.3不同组合下纸箱的尺寸及数目。
当重量组合改变时，根据上述计算可得下表：
表15.4讨论纸箱的花费。
在摩托车飞越大象这一特技中，不能将资金过多的花费在纸箱上，所以通过对纸箱子的表面积的讨论去等效资金的花费。
由所需纸箱的总数目，可以得到纸箱的总表面积为：
表面积的改变是由纸箱的边长变化所引起的，根据下式
使用matlab对其作图，得到了下图：
图2通过观察图2发现，当纸箱的边长变大时，纸箱的数量会减少。
对作图可得：
图3通过观察可知，纸箱子的表面积与纸箱子的边长大小是成正比的，当纸箱子的边长变大时，虽然纸箱数量在减少，但是纸箱的总表面积在不断的增加，使得花费在不断的上升。
所以上述算法中求出的边长在此模型中为最佳答案。在这种情况下，能满足既保护特技演员的要求，又能保证花费最小。
5.5纸箱的堆积方式。
本文针对纸箱堆积列出了两种堆积方式，如图4——常规堆积和图5——交叉堆积。
图4——常规堆积。
图5——交叉堆积。
通过对两种堆积方式进行受力分析（如图6）可以发现交叉堆积比常规堆积可以多承受的力（以8个纸箱的堆积为例）。
ab）图6 （b图中的△代表的是）
在分析纸箱问题时可以知道，纸箱承受的单位体积的能量可以用来表示，则可以得出，即8个纸箱堆积时，交叉堆积比常规堆积可以多承受的能量。
推广到n个纸箱时，交叉堆积比常规堆积可以多承受的能量。所以应选用交叉堆积的方式。
6模型评价。
6.1优点。
将摩托车的落地点分布当作正太分布，且符合实际，也将问题求解简单化，并利用原则，确定出了纸箱所在区域。在解决问题时，本文设计了一些新的定量，比如吸收能量密度和转化比例系数，等等。这些使得求解过程更加的明了化和简单化，更让人容易明白。
6.2缺点。
本文在考虑摩托车系统撞击纸箱问题时，在许多问题上都比较理想化，或许和实际情形有所误差。
7.参考文献。
1]袁国娜，瓦楞纸板托盘的结构及其性能研究，江南大学硕士学位**，2024年7月。
2]万星火，概率论与数理统计，北京：科学出版社，2024年7月，第四次印刷。
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