11a设计单板滑雪场
摘要。本文研究的是单板滑雪轨道的设计问题。首先，我们考虑使运动员的腾空高度尽量达到最大，建立以腾空高度为目标函数的模型，针对问题一，要使滑雪者的垂直距离最长，通过对滑雪者运动过程的分析，我们选取滑雪者运动的一个周期进行研究，从p平台通过f平台再到到p平台的另一端，即从a—b—c—d(如图2)。
首先，结合给定的滑雪路线a—b—c—d运用物理学知识对滑雪过程进行分析，建立以最大腾空高度为目标函数，滑雪道曲率半径、倾斜角、底部平台宽度以及运动员出槽时与槽边缘的夹角为自变量的微分方程，根据搜索相关资料得知，滑雪道长度、曲率半径、倾斜角及底部平台宽度的设计都有一定的参考范围限制，我们结合u型单板滑雪道设计数据。其次，对于滑雪道长度的求解，我们是根据运动员的平均腾空次数及每次腾空时所行距离求解得出，而腾空次数的确定是取5次腾空为标准。
关键词受力分析能量守恒微分方程
一、问题重述
单板滑雪场地主要由flat平台、过渡区、垂直区、platform平台、入口坡组成。运动员的滑雪技巧、身体素质，滑雪场地的坡度、深度、宽度、长度等成为影响运动员成绩的诸多因素。在单板滑雪比赛中，当滑雪运动员最大限度地产生垂直腾空后就能够做出各种动作，那么应该如何考虑哪些权衡因素，从而设计出比较优化的单板滑雪场地。
确定一个滑雪场的形状，使得滑雪选手垂直腾空高度最大化。“垂直腾空”最大化就是指最大的垂直腾空距离在半管边缘以上的距离。
定制形状时要优化其他可能的要求，如空气中的最大扭曲等。综合各种条件，选择最优的滑雪场模型。
初步观察得到u型管道的合理设计有利于运动员水平的发挥，因此我们从设计u型槽的坡度，弧长，场地长度等角度入手。
需要建立数学模型解决的问题：
1）设计出滑雪道的形状（现在一般为半圆柱管内侧面），以使得滑雪者的垂直距离（滞空时间）最长。
2）修改滑雪道的形状能够满足其他的要求，比如可以使得滑雪者在空中进行更多的动作，建立一个实际的滑雪道以满足要求。
二、问题分析：
从能量的角度分析，运动员获得的速度主要来自两方面：
1）当选手从坡顶滑下时， 通过半管型斜坡，重力势能将要转化成动能，选手加速取决于半管型滑道的高度。
2）通过选手自身的肢体动作，用自身的耐力来控制动能的转化，当他们进入半管型滑道时，利用滑行技巧提高垂直下落速度，这样可以使选手到达更高的高度，从而表演更多的空中技巧。
所以我们的模型首先主要利用物理学知识分析选手在u型滑道的受力和能量转化从而计算出可腾空的最大高度。
三、模型假设。
由于滑翔过程中，选手的速度很快，在这里我们忽略空气阻力的影响。
认为运动员一直保持着初射角进行运动，包括跳跃过程。
把运动员和滑雪板整个当做一个质心处理。
运动员都是娴熟的运动员，暂不考虑安全问题。
运动员滑行的近似s型曲线由于所对应的曲率半径很大，圆心角较小，所以路径可以近似看做直线如图1，图2所示。
四、符号说明
table1
五、模型的建立与应用：
通过分析之后，我们认为，单板滑雪的速度与入槽角度和滑行路线有关，我们给定（图1）路线，根据国际单板滑雪道的形状，我们了解到滑雪道一般为u型槽，为了方便研究将槽平铺开后如下图所示。
图1：其中ab为下坡轨道，cd为上坡轨道，bc为在平台所走距离，运动员出槽时与槽边缘的夹角为。
下图2为实际路线图。
图2：由于在ab段cd段，运动员的速度在不断的变化，其支持力也就随之变化，导致摩擦力和bc段不同，是一个变化的力。
我们拟定对a-d进行3段分析研究，在对路径积分求出最终根据功能关系尝试推导出h的表达式。
具体步骤如下：
首先对ab段分析，如图3。设为运动员在u型槽中运动时雪的摩擦力对运动员做的功，设运动员在该段某一点的速度大小为，方向与x轴夹角为，则人在该点受到的向心力：
此时受到的重力沿轴半径方向的分量：
所以人在该点受到的摩擦力为：
显然，摩擦力同和不在同意平面内，摩擦力始终同速度反方向。
图3：设在到时间段内运动员滑行的距离在平面内的分量为，所对应的圆心角为，则总位移可以认为是：
因此，在时间内摩擦力做功5）
在时间间隔内，运动员竖直方向上的高度改变量大小。
故，重力做功大小。
另外，设：运动员在时刻的速度为。
根据能量守恒由以上各式计算得：
将等号右侧展开得： （8）
当时为高阶无穷小时，选手质量为有限值，因此，此时（8）式可化简为：
将（1）（2）（3）（4）（5）（9）联立并化简可得：
其中取值范围为。
对于bc段：
当运动员滑至平面即bc段时，人对赛道平面的正压力：
所以从b到c，摩擦力做功大小12）
重力做功大小13）
设运动员在b点速度大小为，在c点速度大小为，根据动能定理得：
同理对cd段分析得：
其中取值范围为。
我们根据上述式子的联立，假定一个初始速度，求出。
然而对于，我们认为运动员做的是一个以为初射角的斜抛运动，不考虑空气阻力，如图3所示。
图3：由图3中的几何关系以及的值最终求得最大腾空高度模型：
从而，我们得到一个关于的函数式，即：
其中当r减小时，h呈现增大的趋势。
当在平台p的时候，当速度方向的下滑分力大于和摩擦力运动员做加速度运动，当运动员速度方向的下滑分力小于摩擦力的时候运动员做减速运动，所以d取决于d后面的参数的共同结果。对于中低端运动员来说，他们的初射角一般较小（文献3），所以对于他们来说减小r，d是对他们成绩提高的有利因素。
所以，对于这部分人群来讲，设计的赛道应尽量减小圆弧的曲率半径大小r。因此，理论上我们分析我们得出的最佳的形状为半管状，所以说可以最大限度生产“垂直”的是一个半管状的槽。
其切面图如图4所示：
图4：六、模型的求解。
增加限制条件确定参数：
对于d:对于d后面的参数我们进行分析，c=，假设在滑坡倾斜角为14°-18°的时候进行计算，对c>0和c<0的情况进行分析得出表3，也就是说对于倾斜角较小的运动员（倾斜角72°以下），可以认为他们适合在图4的模型中可以产生较好的腾空效果。
table3
显然，纯粹的半管形槽在产生最大限度的“垂直”的同时，也产生了诸多问题。首先对于高水准的运动员平台区p可以进行加速，没有这段区域，则无法获得较好的腾出速度；运动员每次跳跃后没有一个类似于缓冲区的p平台，运动员无法在一次跳跃后调整自己的身体，往往会因为“措手不及”导致事故频发。
因此，从运动员的角度来讲，有一个平台区p是很有必要的，也就是我们要根据运动员平均的缓冲时间设定一个加速区p，但是过长的p会导致没有形成好角度的选手也能获得较大速度，所以我们以2023年温哥华单板滑雪的顶端运动员的水准进行调整平台p的d.
根据生物学的研究显示，优秀的运动员在两个跳跃动作之间大约需要0.8s的时间调整。
而根据2023年温哥华奥运会单板滑雪比赛数据可知（表3），table4
顶尖的运动员的速度大多在9-11m/s的速度，也就是说d=8m的时候，顶尖的运动员也可以足够调整了，这样可以使得更多的运动员通过调整自身，冲刺更加好的起跳速度。
所以，综上我们决定选取d=8m的平台。
对于r: 如果没有此区域，显然不太现实，因为运动员实际上不是一个质点，所以他由平台p飞跃到空中需要一个过渡（尽管过渡区域会损失能量），所以虽然从（16）的式子可知r越小越好，但是我们还要从其他方面限定一个合适的r。
对于：我们继续对高手准的运动员进行分析，试图确定出最佳的斜坡倾斜角，为了方便研究，我们取初射角=75°（奥运会运动员平均水准），曲率半径r=3m（目前最短的曲率半径）进行研究，也就是h（）的函数式子。
我们拟定将其代入，画出曲线，确定最佳的倾斜角。最终结果是=18°时候h最大。
所以，我们的结论是=18°，宽度d=8m，深度r=3m。
模型的改进：
我们对数据进行分析，和运动员的动作分析的可知：
我们还发现如果保持较大的初射角，会导致现有的场地长度不足，我们计算可知，如果保持80°的角度，甚至会造成跳跃1次的横向距离达45m，那么5次的动作将产生225m的场地距离，可能对于现实中选择场地造成较大障碍。
实际运动中，运动员初射角往往一个1/5场地允许的范围内，例如150m的距离，运动员一般会选择75°的角度进行调整，之后在最后的跳跃的过程中，利用自身的条件将角度调大，甚至于达到90°（表4）。这样能产生较大“垂直”。
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