第六章代数模型。
6.1投入产出模型。
投入产出表及其相关概念。
把要研究的地区分为n个部门。
投入——进行经济活动时的消耗，如：原材料，设备，能源等。
产出——经济活动时的成果，如，产品。农作物等。
投入产出模型——反映某地区各部门之间的投入与产出的依存关系的数学模型。
投入产出模型的理论方法是由美国经济学家华西里·列昂节夫(wassily leontief)于2023年所创建，并于2023年获得诺贝尔经济学奖。
投入产出模型 = 投入产出表 + 平衡方程。
价值型——数据用货币计量单位，如：万元，亿元。
特点：方便计算，但不直观。
实物型——数据用实物计量单位，如：km，吨，度。
特点：不方便计算，但直观。
为了能较好地使用数学工具分析数据，“方便计算”更重要。
价值型投入产出表。
中间产品——本年内提供给各部门再加工的产品；
最终产品——本年内不再加工的产品。
纯收入——利润与缴税款；
净产值——劳动报酬与纯收入之和。
总产品——一个部门在该年生产的全部产品。
总产值=总产品（仅对于价值型表成立）
由此获得两个平衡方程。
分配平衡方程：
消耗平衡（价值结构）方程：
对(6.1.1)与(6.1.2)两边求和得。
综合平衡方程
直接消耗系数。
部门j对部门i的直接消耗系数为。
——直接消耗系数矩阵，— 反映部门j对部门i的依赖程度。
从(6.1.4)得，把它代入(6.1.1)得(6.1.5)
设，得，即
再由(6.1.2)得。
可见aij具有性质：
2), 即a矩阵每列的列和均小于1;
3) aij比较稳定，生产规模的变化对其影响不大。
可证明结论：
证明：(反证法)设 |i-a|=0 ，则i-a各行向量线性相关。
从而有不全为0的系数，使。
令，则。 上述方程组中第k个方程为。解出
矛盾，说明，必存在。证毕。
从而(6.1.6)可写成。
6.1.9)可用来**未来某年各部门的总产值。
当然，先要利用历史数据，作为时间序列估计。
然后用最近一年的直接消耗系数矩阵a略作修改(常用ras方法)作为，即。（其中r和s分别是反映代用影响和制造影响的对角矩阵），从而。
完全消耗系数。
完全消耗=直接消耗+间接消耗。
系数——相对于单位产值而言的数。
证明： 设有非负实矩阵，定义矩阵范数。
即各列元素之和的最大值。 则。
由数学归纳法可得。
从而， 又因。
令， 得。证毕。
设，则其经济含义是什么？
由(6.1.9)得。
特别令， 则。
6.1.10)式说明了为了使部门j多生产1个单位价值的最终产品，部门k就要多生产ckj个单位价值的周转产品供各部门生产过程消耗用，这种消耗包含了直接消耗与间接消耗，故我们把ckj称为完全消耗系数，矩阵c称为完全消耗系数矩阵。
各次间接消耗与直接消耗密切关联的。可以证明：
一般第k次间接消耗系数矩阵为ak+1.
因此， 完全消耗系数矩阵=.
直接消耗系数矩阵—— a
完全消耗系数矩阵——
间接消耗系数矩阵——
例6.1.1 设有一个经济系统包含三个部门， 在某一年内，各部门的直接消耗系数矩阵a与最终产品y已知为。
算出。完全消耗系数矩阵。
各部门总产值是。
6.2 效益分配模型。
例6.2.1 设有甲、乙、丙三人经商，若各人单干，则每人仅能获利1元；若甲乙合作，可获利7元，甲丙合作可获利5元，乙丙合作可获利4元，三人合作可获利10元。
问三人合作时应如何合理分配10元的利益。
有甲参加的二人合作，获利7+5=12，有乙参加的二人合作，获利7+4=11，有丙参加的二人合作，获利5+4=9，可见，在该合作中，甲贡献最大，乙次之，丙最小。
故在分配利益时，应与其贡献关联， 一般不该平分。
这方面的问题就是n人合作对策问题。
n人合作对策与特征函数。
设有n个局中人的集合i=，对i中任一子集s，定义一实函数满足条件：
a） ;b） 当时，超可加性)
称为该对策的特征函数，用于描述合作的效益。
在例6.2.1中，v(甲)=v(乙)=v(丙)=1，
v(甲乙)=7>v(甲)+v(乙)=2，v(甲丙)=5>v(甲)+v(丙)=2，v(乙丙)=4>v(乙)+v(丙)=2,v(甲乙丙)=10>v(甲乙)+v(丙)=8，v(甲乙丙)=10>v(甲丙)+v(乙)=6，v(甲乙丙)=10>v(乙丙)+v(甲)=5.
n人合作对策的解。
n人合作对策的解---对v(i)的一个分配方案。
—局中人i从合作v中获得报酬，—分配方案。
至少应满足：
1 个体合理性： ,即合作优于单干；
2 总体合理性：.
但只满足这两个条件的分配方案通常是不唯一的，如上例。
这就会产生很多矛盾，故最好分配方案是唯一的。
shapley在2023年提出了shapley值三公理（三条准则）.
1）对称性。 每个局中人获得的报酬与他的标号无关；
2）有效性。
a) 若局中人i对他所参加的任一合作都无贡献，即若，则。
b);3）可加性对i上任意两个特征函数u与v
即若这n人进行了两项合作，则每人的分配是两项合作分配之和。
满足上述三公理的称为shapley值，shapley证明了对任一n人合作对策，shapley值是唯一存在的且。
其中，为集s的元素个数，；
———局中人i在s中的贡献。
6.2.1) 有项求和。
注： (6.2.1)有性质：
(1)任意给定， (请你证明)
(2) 任意给定，.
特别对于三人合作对策，设，现有合作v, 记u1=v(a), u2=v(b), u3=v(c), u12=v(ab), u13=v(ac), u23=v(bc), u123=v(abc). 考虑含a的集合有。
相应的四项：
类似可得其他，综合可得。
在例6.2.1中，
代入(6.2.2)得分配方案。
二人合作的分配公式：
应用实例。例6.2.
2 有三个位于某河流同旁的城，从上游到下游依次为a、b、c,三城的污水必须经处理后方能排入河中，a、b距离为20公里，b、c距离38公里。设q为污水流量(m3/s),l为管道长度(km).假设建污水厂费用为cl=730q0.
712(千元),而建管道费用为c2=6.6q0.51l(千元),已知三城的污水流量分别为qa=5,qb=3,qc=5,问应该怎样处理(单独设厂还是联合设厂),可使总开支最少，又每一城镇负担的费用应各为多少？
解题思路：合作可省钱→把省钱视作获利→计算获利的分配→导出费用的分担。
以下分别计算与比较各方案的效益。
1）a自建厂的投资；
2）b自建厂的投资；
3）c自建厂的投资；
4）a与b合作，在b处建厂（c单干）
投资=建厂费+铺管费；
比各自建厂节省。
5)a与c合作，在c处建厂（b单干）
投资=a与c分别建厂的投资。
小于合建一厂的投资，故它们应选择分别建厂，即节省为0.
6) b与c合作，在c处建厂（a单干）
投资。比分别建厂节省。
7) a,b,c合作建厂在c处。
投资。比各自建厂节省。
可知，节省最多的方案是(7),共节省630.2(千元)，这合作的获利如何分配呢？现把节省的钱作为获利，则。
代入(6.2.2)得。
从而三城投资的分担分别是。
请思考：，为什么？
例6.2.3 某个国家的议会有100个议席，议会内有四个政党a、b、c、d，分别占有席。
为了组建**，需要议会多数席位（即51席）。 由于任一政党都未达到多数，故需要建立联合**。 估计各政党的影响力（假设党内议员态度一致）。
解：把这个问题看成是四人合作对策。 就是说，若a、b、c、d的某个组合s占有至少51个议席，就令v(s)=1，否则，v(s)=0。
那么，，以及包含ab，bc,或ac的组合s，有。
由此得出shapley值。
可见，政党d在议会中没有影响力，因为不管a、b或c，加上d都不能形成多数。 而ab，bc或ac形成联盟，已经有了足够多数，不必再去找d帮忙了。 即d在任何合作中贡献为0。
另一方面，a、b、c的影响力相同，因为它们对任何合作的贡献相同。
6.3 森林管理模型。
问题描述。森林中的树木每年要有一批被砍伐**，为使这片森林不被耗尽而且每年有所收获，每砍伐一棵树，应该就地补种一棵幼苗，使森林数目的总数保持不变。 希望找到一个方案，在收获保持稳定的前提下，获得最大的经济价值。
模型假设。1)把森林中树木按高度分为n级，第k级的高度在之间。第1级是幼苗，第k级树木的每棵价值为；
2) 第k级树木的数量是棵，每年砍伐一次，第k级砍伐棵， =0. 每年砍伐后留下的树木与补种的幼苗使其状态与原来相同（即各与上年同期相同）;
3) 假设每一棵树木都可从幼苗长到收获，森林中树木总数是s，即；
4) 树木每年至多生长一级，第k级树木进入第k+1级的比例为，留在原级的比例为。
建立模型。表示本年未砍伐时第k+1级新增的树木数量，（最顶级不会再长）。
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