幻方趣谈。
一、幻方的概念
定义若一个 n阶由1~n2的正整数组成，且每行、每列与两对角线上的n个元素之和都相等。 则称此矩阵为n阶幻方。 每行的n个元素之和称为幻和，并记为sn.
例如，下面分别是3阶幻方和4阶幻方。
幻和的计算公式。
s3=3(1+9)/2=15, s4=4(1+16)/2=34, s5=5(1+25)/2=65
注：不存在2阶幻方。
二、幻方的起源。
传说，我国远在夏禹治水时(公元前23世纪), 陕西的洛河常常泛滥成灾，威胁着两岸人们的生活与生产。 于是，大禹日夜奔忙，三过家门而不入，带领人们开沟挖渠，疏通河道，驯服了河水，感动了上天。 事后，一只神龟从河中跃出， 背上有一个九种花纹的图，后人把这个图称为“洛书”.
它就是从1到9连续自然数排成3行的图。
此图我国古代也称为九宫图。
最早见于记载的4阶幻方，是在印度卡俱拉霍地方发现的一个11世纪的碑文上。 它是一个极不平凡的4阶幻方，有着十分玄妙的性质。
它除了一般四阶幻方的通有的性质外，还有如下特性：
1）任一“折断的对角线”上4个数之和也等于幻和34；
2）任一2阶子阵的4个数之和也等于幻和34；
3）任一3阶子阵的4角4个数之和也等于幻和34；
4）任一3阶子阵的2对角数之和恰是幻和34的一半17.
顺便提一下，2023年美国发射寻求星外文明的宇宙飞船旅行者1号、2号上除了携带向宇宙人问候的“地球之声”(古今**、近六十种语言的问候话，三十五种自然界的各种声响唱片)外，还带了一些**，其中有这张4阶幻方图。
2023年，上海博物馆在整理明代古墓的出土文物时，发现了一块玉佩上有一个4阶幻方，它也有上述玄妙的性质：
三、自然顺序方阵及其性质。
定义把自然数1~n2从小到大排成n阶方阵：
通项，把a称为自然顺序n阶方阵。
把行（列）号之和等于n+1的两行（列）称为对称行（列），当n为奇数时，设n=2k-1，称为中心数，它位于a的**。 位于对称行（列）同列（行）的两个数与（）称为行（列）对称数，而关于中心对称的两个数与称为对称数。 位于不同行，不同列的数称为独立数。
矩阵a的性质：
性质1. 任两个对称数之和都是。
证。性质2. 任意n个独立数之和为幻和sn.
证。 设是a的n个独立数，则是从1到n的一个排列，故。
因此。推论。主(次)对角线上n个数之和为sn.任一折断的对角线上n个数之和也为sn.
性质3 任两个对称行（列）的2n个数之和都等于2 sn.
证：把两个对称行（列）的2n个数视为n对对称数，由性质1，其和为。
性质4 当n=2k-1时，第k(中间)行(列)的n个数之和为sn.
证。第k行的和。
第k列的和。
四、奇数阶幻方
设n=2k-1，（k=1,2,…）
一) 构造方法1---连续摆数法。
按以下步骤填写，即可得到一个n阶幻方。
1) 先画一个n×n方格表；
2) 把1填写在第1行中间；
3) 当m填好后，若m的右上方空，则把m+1填在此格，否则，把m+1填在m的下方。 (把第1列视作第n列的右方，把第n行视作第1行的上方)
例如填写一个3阶幻方和5阶幻方。
可验证其幻和分别为15和65.
二)．连续摆数法的原理。
设是按以上方法构造的n阶方阵，是自然顺序方阵。
1．b与a的变换公式。
设m表示正在写的数，当时，m写在pn的下面（例如n=5时，6在5下面，11在10下面等）,否则，m在m-1的右上方。
从而，是一条折断对角线，且对应于a的第p+1行。以上讲的b的每一条折断对角线，是固定的数（mod n），故设，b的第1条折断对角线，,对应a的第1行；故设。
可见规律是： ，即。
b的第2条折断对角线，,对应a的第2行；故设。
可见规律是： ，即。
一般，b的第t条折断对角线，
把代入得变换式：
2．b的列和。
从（1）式可见，若给定j, i每增加1，（1）式右边的行号与列号也分别增加1(mod n)，即。
b的每列数对应 a的一条折断对角线。 故其和是sn.
3．b的行和。
若给定i后， j每增加1，（1）式右边的行号增加1(mod n),列号增加2(mod n)，一旦大于n就减去n(奇数), 这就改变了奇偶性， 故列号也取遍了1~n,即。
b的每行数对应 a的n个独立数。 故其和是sn.
4．b的对称数。
容易验证。1)等价于；
2)等价于；
3)等价于；
4)等价于；
5)等价于；
6)等价于。
从而， b中的一对对称数相应于a中的两个数的行号之和为。
上式左边第1项需加(减)n时，第2项就需减(加)n, 故其和不变。 同理，列号之和为。
即b中的一对对称数也是a中的一对对称数。
5．b的对角线和。
首先，由(1)式知，b的中心数恰等于a的中心数：.
其次，b的主（次）对角线都是由对对称数及中心数组成，故其和为。
综合得，上法构造的方阵符合幻方的定义。
三）构造方法2---阶梯法
以n=5为例说明。
1）在的**中斜着按自然顺序填写，这相当于把自然顺序方阵a逆时针转45度。
2）框住中心的格。
3）把框外的数移到框内的空格处：
左（右）面的数向右（左）移动n列；
上（下）面的数向下（上）移动n行。
这就得到一个n=2k-1阶幻方。
化简的方法：直接在个方格中填写。
1）把1填在中心右旁；
2）若右上方空，就写下一个数；
3）否则，写在右隔一处。
四）阶梯法的p矩阵性质：
1） p的次对角线=a的中间行。
2） p的主对角线=a的中间列。
3） p的中间行=a的主对角线。
4） p的中间列=a的次对角线。
5） p的其他行（列）=a的折断对角线。
以上右面的和都是sn，故p是幻方。
五）阶梯法的变换公式。
设，每个y值对应p的一条折断对角线，也对应a的一行。
y=2对应a的第1行，；
y=4对应a的第2行，；
y=2k-2 对应a的第k-1行，；
可见，y为偶数时，
y=1对应a的第k行，；
y=3对应a的第k+1行，；
y=2k-1 对应a的第2k-1行，；
可见，y为奇数时，
另外，y为偶数时，y为奇数时，可见，不论y的奇偶性，p与a的变换公式可以统一为。
五．双偶阶幻方。
设n=4k，（k=1,2,…）
一）. 构造方法(对称法)
把a的中心点视为原点，把第1象限的数均匀地分为甲类和乙类，即每行(列)各占一半，然后按对称原则，使aij, ai(n+1-j) ,a (n+1-i)j，与a (n+1-i) (n+1-j)同类。让甲(乙)类的数固定不变，乙(甲)类的数都跟其对称数对换。
n=4的例。
ad）n=8的例。
ad）可验证满足s8=260
二）. 原理。
a的第i行之和。
a中两个行对称数之差为。
从而若把第i行与第n+1-i行中的n/2对行对称数进行交换，则这两行的行和分别变为。
即对换后，这两行的和都等于幻和。
a的第j列之和。
a中两个列对称数之差为。
从而若把第j列与第n+1-j列中的n/2对列对称数进行交换，则这两列的和分别变为。
即对换后，这两列的和都等于幻和。
另外，注意到a中每条对角线的n个数之和都为sn, 即对角线上的数只与同在此对角线上的数交换，其和不变。
因此，矩阵d是幻方。
六、单偶阶幻方。
设n=4k+2，先考察一个6阶幻方。
第一步，先用上述介绍的方法构造出一个4阶幻方， 如图1所示，幻和为34；
第二步，把这个4阶幻方的每个数都加上10,得图2所示， 此时幻和为74；图2所用的数是11~26, 恰是1~36中间的16个数， 如图3所示；
图1图2
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