数学建模期中考试

数学建模期中作业**。

thesis of mid-term examination of mathematical modeling

学院：理学院

专业： 09信息与计算科学3班

学号： 093209 姓名：赵旭

学号： 0932097 姓名：焦雅

学号： 0932098 姓名：李开。

所得税交纳点选址的数学模型

试题：所得税交纳点选址。

所得税管理部门计划对某个城市的所得税交纳点网络进行重新设计。下图是该城市主要区和主要道路的示意图。区旁边的黑体数字表示该区居民数目，单位为千人。

在连区之间的弧上标出了它们之间的距离，单位为千米（斜体字）。为覆盖整个城市，所得税管理部门决定在三个区设置纳税点。请建立数学模型给出三个纳税点安排的最佳方案。

摘要。所得税管理部门计划对某个城市的所得税交纳点网络进行重新设计。如图所示，区旁边的黑体数字表示该区居民数目，单位为千人。

在连区之间的弧上标出了它们之间的距离，单位为千米（斜体字）。为覆整个城市，所得税管理部门决定在三个区设置纳税点。

首先我们将问题参数化，建立数学模型。然后利用穷举法计算出每个点到所指定的三个纳税点的距离，再利用弗洛依德算法得出距离矩阵，并结合 math lab等程序（c语言、lingo），得出其与人数加权后的距离矩阵。

最后得出在1，6，和11 设置纳税点为最佳。1，2，5，7区的居民去1区的纳税点缴税，3，4，6，9 区的居民去6 区的纳税点缴税，8，10，11，12区的居民去11区的纳税点缴税。

我们的模型虽然简单，但合理、实用，可以被各领域针对自己的情况应用到工作计划中去，指导他们的实际工作。

模型的总体假设。

1. 假设纳税点集中在每个区的中心；

2. 假设限定每个区的居民只能到一个纳税点缴税；

3. 假设三个纳税点之间无特定联系；

4. 不考虑“道路难度系数”（即实际路程、地面情况及障碍物等）;

5. 不考虑路程与时间的关系（即选出的是人数和距离加权后最小的纳税点，而非时间最短）；

6. 不考虑居民的迁入迁出，即假定该区居民数目稳定；

7. 不考虑居民的主观因素（如个人偏好，或者因最近纳税点人多而临时改变纳税点等）；

模型的建立与求解。

第一步：模型的建立。

根据假设一，每个纳税点集中在每个区的中心，可能的位置有12种，则三个纳税点的组合至多有=12*11*10/6=220个。可将问题参数化。

参数的假定：

i、j、k——所选纳税点的区号；（共有=220种选择方案）

m——区号数；（m…12）

——m区的居民数，单位为千人；

、、—分别表示m区到i、j、k区（即所选纳税点）的最小距离；

=min[，，即m区到三个纳税点的最小距离；

则问题可以表述为：

求目标函数：min[z(i，j，k)]=

第二步：模型的求解(考虑用穷举法)

一、距离矩阵的建立。

1、i=1,j=2,k=3(即所选的三个纳税点为1区，2区，3区)；

1）m=1,2,3时，显然， =0； =0； =0（即纳税点所在居民到本区纳税的距离最小，距离为0）

2）m=4时，由题图显然：

min(，，18;

10) m=12时，由题图显然：

min(,,39;

2、 i=1,j=2,k=4 (即所选的三个纳税点为1区，2区，4区)；

1) m=1,2,4时，显然， =0； =0； =0（即纳税点所在居民到本区纳税的距离最小，距离为0。

2）m=3时，由题图显然：

=min(,,18;

10) m=12时，由题图显然（以此类推）：

以此类推，可得距离矩阵如下：

二、距离与人数的加权。

与人数加权后的距离矩阵如下：

由公式min[z(i，j，k)]=结合与人数加权后的距离矩阵可得结果为：加权后的最小距离和为2438；在1，6，和11 设置纳税点为最佳。1，2，5，7区的居民去1区的纳税点缴税，3，4，6，9 区的居民去6 区的纳税点缴税，8，10，11，12区的居民去11区的纳税点缴税。

三、将上述求解过程程序化（以math lab为主，c语言程序、lingo 的程序及运行结果见附录）

math lab思考过程及程序如下：

第一步，用标号法求出每一个顶点vi至其它各个顶点vj的最短路径长度dij（i，j ＝ 1，2，…，12），并将其写成如下距离矩阵：

shortdistance=

第二步，以各顶点的载荷（人口数）加权，求每一个顶点至其它各个顶点的最短路径长度的加权和，并将其写成如下距离矩阵：

shortpath=

第三部，用穷举法任选三点，求其他九点中的任意一点到该三点的加权距离的最短距离的加权和，matlab中可用矩阵依次求出所有可能的结果，并标记最短距离sdl及最优第三点i,j,k.

第四步，输出，shortpath,sdl及i,j,k.

m=inf;a=[15 10 12 18 5 24 11 16 13 22 19 20];

a=[0,15,m,m,24,m,18,m,m,m,m,m;0,0,22,m,m,m,m,m,m,m,m,m;zeros(1,3),18,16,m,m,m,20,m,m,m;zeros(1,4),m,12,m,m,m,m,m,m;zeros(1,5),m,m,12,24,m,m,m;zeros(1,6),m,m,12,m,m,22;zeros(1,7),15,m,22,m,m;zeros(1,8),30,m,25,m;zeros(1,9),m,19,19;zeros(1,10),19,m;zeros(1,11),21;zeros(1,12)];

a=a+a';

for i=1:length(a)

pb(1:length(a))=0;pb(i)=1; d(1:length(a))=m;d(i)=0;temp=i;

while sum(pb) tb=find(pb==0);

d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb));

tmpb=find(d(tb)==min(d(tb)))

temp=tb(tmpb(1));

pb(temp)=1;

end;shortdistance(i,:)d;

shortpath(i,:)d.*a;

end;display ¨°

shortdistance;

shortpath

sd=sdl=10000;

k=1;l=1;p=1;q=1;x=0;y=0;z=0;

for i=1:1:12

for j=1:1:12

for k=1:1:12

if(k~=i&k~=j&i~=j)

sd=0;for l=1:1:12

if(l~=i&l~=j&l~=k)

sd=[sd min([shortpath(i,l) shortpath(j,l) shortpath(k,l)])

endend

sdl1=sum(sd);

if(sdl1sdl=sdl1;

x=i;y=j;z=k;

endend

endtheshortestdistance=sdl

display thepointchosed;

disp([x y z])

math lab运行结果截图如下：

模型评价。模型的优点：

思路比较简单、计算比较方便，只需用计算机软件编程辅助即可。将问题参数化、公式化，便于理解。

g; e! ^v$ [6 u8 r7 m

模型的缺点：

本模型是在一系列的假设中进行的，并没有充分考虑实际过程**现的问题。比如，首先图上的任何两点之间不可能都能以直线的路径行走；其次，居民选择最佳纳税点的考虑因素不仅仅是距离长短，还可能和出行是否方便有关。

模型的改进：

更进一步，如果时间允许的话，我们可以到指定城市实地考察，调查该城市居民人数的稳定分布情况，道路的便捷程度等。我们也可以编制个一个决策软件：只要输入各条道路长，各个区的人口数，软件可以给决策者提供一个税收点选址的较优地址。

模型的推广：

此题归属于运筹学问题——线性规划选址问题。本题是在有限个离散点中选取加权距离最短的优化问题。例如工厂选址，机场的航班连接，物流中心的安排问题等。

以此题为基础，考虑参数个数的变化对此模型的影响（如道路难度系数，出行费用等等）；将此题的离散点连续化，建立更完备的模型体系。

附录一：c语言程序和运行结果截图。

c语言程序如下：

#include<>

void floyd(int (*dist)[13],int n)

int i,j,k;

for(k=1;k { for(i=1;i { for(j=1;j { if(((i!=j)&&dist[i][k]*dist[j][k]!=0))&

((dist[i][k]+dist[j][k]

dist[i][j] =dist[i][k] +dist[k][j];

dist[j][i] =dist[i][j];

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