摘要。问题要求在满足需求的情况下制定下一年的招聘计划。已知下一年各个季节的保姆需求量，分四个季节招聘保姆，并且在春季开始时公司就拥有120名保姆，每季节结束有15%的保姆自动离职。
我们分析。
问题一，如果公司不允许解雇保姆，制定下一年的招聘计划，我们先设定四个季度新招聘保姆数量x1、x2、x3、x4，通过题目分析了解到对公司来说要保证满足服务的需求量的前提下总招聘人数越少，公司总花费就越少。该问题是线性规划问题，我们建立模型，写出目标函数与约束条件。然后用lingo软件进行模型求解，求解结果由于非整数因子（每季度保姆自动辞职白分量15%）的影响，模型结果为非整数，我们进行了近似处理。
解得四个季节的招聘结果为，且春、秋两季的需求的增加不影响招聘计划，可分别增加1800人日和935人日。
问题二中公司在每个季度结束后允许解雇保姆，我们引入新变量zi（四个季节分别解雇的保姆数量），重新建立模型，来制定下一年的招聘计划，招聘计划的基本原理依旧不变，问题二仍是线性规划问题。分析可知使四个季节度的总招聘保姆数，在满足需求情况下最少，公司总花费就越少。以此我们建立新的目标函数和约束条件，然后利用lingo软件对线性模型求解，结果：
以本年度付出的总报酬最少为目标建立线性模型，并通用lingo软件对所建立的线性模型求解，得到下一年四个季节分别得招聘人数和解雇人数。且该目标函数的求解结果为465.1218比不允许解雇时的值略有减少。
关键词：需求、招聘、解雇、线性规划、lingo软件、目标函数、约束条件。
一．问题提出。
一家保姆服务公司专门向顾主提供保姆服务。根据估计，下一年的需求是：春季6000人日，夏季75000人日，秋季5500人日，冬季9000人日，公司新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗，每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天。
保姆从该公司而不是从顾主那里得到报酬，每人每月工资800元。春季开始时公司拥有120名保姆，在每个人季度结束后，将15%的保姆自动离职。
（1）如果公司不允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划；哪些季度需求的增加不影响招聘计划？可以增加多少？
（2）如果公司在每个季度结束后允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划。
二．基本假设。
假设一：假设下一年各季节的保姆需求量预计是春季6000，夏季7500，秋季5500，冬季9000；
假设二：假设每个季节有15%的保姆离职；
假设三：假设每个保姆每季度（新保姆包括培训）65天；
假设四：每人每个月工资（按月领取，不拖欠）固定，不降也不涨，且新招聘的保姆在培训期间工资照常领取；
假设五：题目所给数据真实可靠；
假设六：保姆服务满足客户要求。
三．符号说明。
其中，i可取分别表示春、夏、秋、冬。
四．问题分析。
问题一根据下一年的各季节的需求制定招聘计划，每位新招的保姆必须培训5天后才能上岗，且一个季度过后，有15%的保姆自动离职（前提是公司不能解雇保姆）。所以对公司来说要保证满足服务的需求量的前提下总招聘人数越少，使得公司总花费最少。这是线性规划问题，可以用lingo软件进行数据处理分析。
从而得到最优招聘计划，还能通过其处理结果分析各变量对目标函数的影响。
问题二中，允许每个季度后公司解雇保姆，我们可以设四个季节分别解雇的保姆数量，重新建立模型，来制定下一年的招聘计划，招聘计划主要思想不变，以最后四个季度总招聘保姆数，在满足需求的情况下，付出最小总报酬。运用线性规划的原理求解问题。
五．模型建立于求解。
5.1.1问题一分析：
对公司来说要保证满足服务的需求量的前提下总招聘人数越少，使得公司总花费最少。所以我们以本年度付出的总报酬最少（即4个季度开始时保姆总数量之和为最小）为目标，建立模型求解，用lingo软件进行数据处理分析。
5.1.2问题一的模型建立与求解。
根据问题一的分析，这是线性规划问题。
目标函数：min = y1 + y2 + y3 +y4.
约束条件：第一季度65 * y1 - 5 * x1 >=6000;
y1 - x1 = 120;
第二季度65 * y2 - 5 * x2 >=7500;
y2 - 0.85 * y1 - x2 = 0;
第三季度65*y3 - 5 * x3>= 5500;
y3 - 0.85 *y2 - x3 = 0;
第四季度65 * y4 - 5 * x4>=9000;
y4 - 0.85 *y3 - x4 = 0;
非负约束：xi,yi均不能为负值，即xi>=0;yi>=0.
我们用lingo软件求解该问题，输入：
求解结果如下：
对上述结果取整，4个季度开始时公司新招聘的保姆数量。
第一个季度开始时公司新招聘0人；
第二个季度开始时公司新招聘15人；
第三个季度开始时公司新招聘0人；
第四个季度开始时公司新招聘59人。
上面的模型中没有要求x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4为整数，是因为保姆数量比较大，可以近似的看作实数处理，此外，由于非整数因子每季度保姆自动辞职百分量15%的影响，如果要求x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4为整数，则可能使得新招聘的保姆数量不能满足实际需要的数量，从而难以找到合理结果的整数解。
由以上lingo软件求解结果中约束的松弛的数据分析可知，春季和秋季需求的增加不影响招聘计划，春季可以增加1800，秋季可以增加936人。
5.2.1问题二分析。
由于公司允许解雇保姆，季度初保姆的人数 (yi)= 原有保姆的人数 + 季度初招聘保姆的人数（xi）–上一季度末解聘的保姆的人数(zi)，其他具体分析同问题一，即以本年度付出的总报酬最少（即4个季度开始时保姆总数量之和为最小）为目标，建立模型求解。
5.1.2问题二的模型建立与求解。
根据问题二的分析，了解这是线性规划问题，具体解答过程同问题相似。
目标函数：min = y1 + y2 + y3 + y4;
约束条件：第一季度65 * y1 - 5 * x1>= 6000;
y1 - x1 = 120;
第二季度65 * y2 - 5 * x2 >=7500;
y2 - x2 + z1 - 0.85 * y1 = 0;
第三季度65 * y3 - 5 * x3 >=5500;
y3 - x3 + z2 - 0.85 * y2 = 0;
第四季度65 * y4 - 5 * x4 >=9000;
y4 - x4 + z3 - 0.85 * y3 = 0;
非负约束：xi、yi、zi均不能为负值，即xi>=0;yi>=0;zi>=0。
我们用lingo软件求解该问题，输入：
求解结果如下：
由上述结果可以知道：
第一个季度开始时公司新招聘0人，第一个季度结束时解雇0 人。
第二个季度开始时公司新招聘15人，第二个季度结束时解雇15 人；
第三个季度开始时公司新招聘0人，第三个季度结束时解雇0人。
第四个季度开始时新招聘72人，第四个季度结束时解雇0人。
目标函数值为465.1218比不允许解雇时的值略有减少。
六．模型评价。
1.模型优点。
数学模型建立合理，有理论基础，可信度高，建立模型后运用lingo软件求解模型，使得结果的可信度高。
2.模型缺点。
1）没有充分的分析实际上保姆自动离职的百分率，没有分析数据（15%）的灵敏度，总的来说没有考虑到实际情况。
2）对问题的求解结果作了近似处理。
七、参考文献。
1] 姜启源，谢金星，叶俊。数学建模。北京，高等教育出版社。
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