运筹学模型（四）
三、计算题。
1.某医院为病人配制营养餐要使用到两种食品a和b，每种食品a含蛋白质50g，钙400mg， 热量1000单位，价值14元；食品b含蛋白质60g，钙200mg，热量800单位，价值8元。若病人每天需从食物中获取蛋白质，钙及热量分别为55g，800mg和3000单位，问如何选购食品才能在满足营养要求条件下使花费最小？
试组建线性规划模型并求解后回答：
（1）问题的最优方案及最优值分别是甚麽？最优方案是否有选择余地？
（2）各种营养要求的满足情况怎样？若限制蛋白质摄入量不超过100单位，会出现甚麽问题？
解：本题属于简单的线性规划模型的建立与求解问题，并要求作出一点模型分析工作。按要求，先来建立模型，根据题设，设购买两种食品分别为（kg），则有。
总花费数额函数，自然我们希望求出这样的取值，使得函数取最小值。可以写为。
又根据营养最低要求，应有。
蛋白质需求条件：
钙的需求条件： 400，热量的需求条件：
非负性条件：
将上述条件合在一起，即可获得本问题的线性规划模型如下：
利用**法易于得到其最优解为即食品a购买（kg），b购买（kg），最低花费元。由此可回答所提问题：
（1）最优解与最优目标值如上所述，最优方案无选择余地，因为最优解点是在后两个约束条件直线的交点上，而不是在可行域的某条边界线段上。
（2）钙和热量需求得到满足（最低量），蛋白质需求超最低标准个单位。以上结论是将最优解代入各个约束条件得到的。
若限制蛋白质摄入量不超过100单位，则第一个约束条件应修改为。
在原来的求解图上加上条件则可见可行域不存在，故无解。
2.某工厂生产两种产品a、b分两班生产，每周生产总时间为80小时，两种产品的**销售量、生产率和赢利如下表。
表3制定一合理的生产方案，要求依次满足下列目标：
（1）充分利用现有能力，避免设备闲置；
（2）周加班时间限制在10小时以内；
（3）两种产品周生产品量应满足**销售，满足程度的权重之比等于它们单位利润之比；
（4）尽量减少加班时间。
解： （1）建立模型。
设：①每班上班时间为8小时，在上班时间内只能生产一种产品；
②周末加班时间内生产哪种产品不限；
③生产a产品用x班，生产b产品用y班，周加班时生产a产品用x1小时，生产b产品用y1小时。则有。
（2）求解。
现在求满足（1）中第2，3个方程可看出：，；
将（1）中的第1个方程代入第4个方程得：
现在就是在满足，条件下，使上式两端的取值尽量接近。显然，因此
制定方案为，生产a，b两种产品所占总时间各一半，周加班10小时全用于生产产品b.
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