第四章：存贮模型。
4.1不允许缺货的确定性贮存模型。
工厂要定期地订购各种原料，存放在仓库里供生产之用。商店要成批地购进各种商品，放在货柜中以备零售。水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和航运。
不论是原料、商品，还是水的贮存，都有一个贮存多少的问题。原料、商品存得太多，贮存费用（比方仓库租赁费、资金占用须支付银行的信贷费用等）高；存得太少则无法满足需求。在此我们设想是在为一个商店老板制定一个好的进货策略。
一、模型假设：
1．假设商店经营的商品单一，顾客对该物品的需求量在时间上保持恒定，即在任何时刻，单位时间（每天）对物品的需求量恒为（吨）；
2．商店采用周期进货策略：每隔时间（天）进货（吨）；且假设每次进货是在存货全部售出后即刻进行，不允许缺货，即；
3．每次进货需支付订货费（等一次性费用），在正常期间，还需支付货物的贮存费用，单位时间（天）单位（吨）货物需支付货物的贮存费用；
4．以表示在时刻该货物的存量；
二、模型建立。
根据假设，不难得到如下最优化问题：
可以进一步化简，得，即本模型本质上只有一个独立的决策变量，其中目标函数表示在进货周期为时，商店在单位时间（每天）承担的平均费用。
三、模型求解。
令，即，得最优的进货周期，进而得每次的进货量（即经济理论中著名的经济订货批量公式）。
四、点评。从模型的解可以发现，当订货费越高，需求量越大时，一次订货量应越大；当贮存费越高，一次订货量应越小。这些关系是符合常识的，但仅凭常识是不能得到准确的依从关系。
4.2允许缺货的确定性贮存模型。
我们经常遇到这样的情形：当我们到一家商店中购买一件物品时，被店员告知该物品缺货——在本节我们讨论一个允许缺货的确定性贮存模型，和前面介绍的不允许缺货的确定性贮存模型相比，容易发现当一家商店由于缺货而支走顾客而失去销售机会，从而使利润减少；减少的利润可以视为因缺货而付出的费用，因此在建模时引入“缺货费”。
一．模型假设：
1．假设商店经营的商品单一，顾客对该物品的需求量在时间上保持恒定，即在任何时刻，单位时间（每天）对物品的需求量恒为（吨）；
2．商店采用周期进货策略：每隔时间（天）进货（吨）；且假设每次进货是在存货全部售出之后进行，允许缺货，即；
3．每次进货需支付订货费（等一次性费用），在正常期间，还需支付货物的贮存费用，单位时间（天）单位（吨）货物需支付货物的贮存费用；在缺货期间需对由于错失销售机会而承担损失，每天单位时间（天）单位（吨）货物需支付缺货费；
4．以表示在时刻该货物的存量，当时表示缺货量；
二．模型建立。
根据假设，不难得到如下最优化问题：
可以进一步化简，得，即本模型有两个独立的决策变量、，其中目标函数表示在进货周期为、进货量为时，商店在单位时间（每天）承担的平均费用，为、的一个二元函数。
三．模型求解。
令，解之可得最优的进货周期，进而得每次的进货量。
四．点评。将本模型的解和前面一节不允许缺货的模型的解进行比较，发现进货周期变长，而一次进货量却有所减少，即确实存在一段时间，商店是处在缺货状态下的。
如果我们关心的是一家有盈利的商店，其盈利的源泉在于销售收入，即其盈利行为发生在有货**的时段内，而在缺货期内只能错失销售机会，因此，定性判断，若以一次进货量取，商店将进货周期缩短到，其盈利会增加。即对经营单一商品的以盈利为目的的商店不应当允许缺货。这与本模型及其解答存在矛盾，问题发生在什么地方？
在追求利润最大化与成本最小化之间是有差别的，前者是一种积极的经济行为目标，后者相对消极，只有假定总的销售收入（产值）相同时，二者才是等价的；如果在假定二者一致的前提下，若，即可得要么不允许缺货，要么永不进货（即放弃经营该产品）的结论——在自由市场的条件下，这样的结论更为实用，而本节模型及其解答只有当商家在对一种商品的经营具有垄断地位时才有实用意义。
在自由市场的条件下，人们在日常生活中遇到某些商品在某家商店缺货的现象，本节模型是不能给出回答的，而其原因在于通常的商店经营的商品并非单一，顾客的流量是有很大随机性的。读者可以试着考虑在假定顾客的需求量确定的前提下，同时经营两种以上商品的最优进货策略问题。
4.3随机贮存模型——报童的诀窍。
前面讨论了两个确定性的贮存模型，即假定顾客对某种商品的需求量是准确**的前提下给出的，而实际的情形远为复杂——顾客对某种商品的需求量是服从某些规律的随机变量，因此应当有区别于前面两个模型的处理方法。
一．模型假设。
1．考虑一种报纸的买进，假定某个报童在某个街区卖报，而该街区居民在一天中对这份报纸的需求量是随机的。表示随机变量的概率密度函数（即假定该种报纸的需求量通常是一个比较大的量，可以视之为一连续变量；若视为离散变量处理，以表示居民在一天中对这份报纸的需求量为时的概率）；
2．报童在每天早晨以**买进份报纸，以**卖出，经过一天**，将剩余报纸以**退给报商，通常。
二．模型建立。
影响报童一天的利润有两个因素：，当取定，报童一天的利润，因为是一随机变量，因此同样是一随机变量，按照期望值准则，可得当报童在早晨购进份报纸其可以获得的利润的期望值：
将之作为决策变量的目标函数，最大化即构成报童卖报的最优化模型。
三．模型求解。
令，可得最优性条件为。可以如下理解：、分别为一份报纸在卖出时所得利润和在卖不出去时所受损失；、分别表示顾客对报纸的需求量不足和超过的概率，假设购进份报纸是最优的，那么考虑购买份报纸，多增加的那一份报纸所能给报童带来利润与损失从数学期望的角度将是“接近”相等的。
读者可以给出视为离散变量处理时，模型的描述与模型解的最优性条件。
4.4随机贮存模型——策略。
由于顾客对一种商品的需求是随机的，因此在实际生活中，还有一种进货策略——策略被广为采用：商店老板每隔一定时间要对商品的存货进行清点，只有当存货数量不足时才决定进货，且一次进货的订货量取与当前存货数量的差值。
一．模型假设。
1．假设商店经营的商品单一，商店采用周期进货策略：每隔一定时间，比方一周，商店老板要对商品的存货进行清点，以决定是否进货。只有当存货数量不足时才决定进货，且一次进货的订货量取与当前存货数量的差值，表示进货量；
2．顾客在一周时间内对该物品的需求量是一随机变量，表示随机变量的概率密度函数；
3．商店在一周可能支付的费用有：每次的订货费，其取值与进货数量无关；每件商品在一周的贮存费。、分别表示一件商品的购进**和售出**；
4．商店在一周的销售活动全部集中在一周的周初，因此商店须为剩余商品支付一周的贮存费用；
二．模型建立。
首先考虑的确定，设当前存货数量，且决定进货，这时进货数量成为决策变量。和报童卖报一样，的取值应当在期望值的意义上使得利润最大化。
为进货数量取，而需求量为时商店在下周的利润。取其数学期望，得：
若记，则。三．模型求解。
令，得最优性条件：，其经济意义和对报童购报的诀窍导出的最优性条件的解释是类似的，不在赘述。
我们也直接从最优性条件获得，不论当前存货数量取何值，只要决定进货，那么最优的订货量总是使得下期起初的货物量达到确定的值：，即应满足。
按照前面的进货策略，根据当前存货数量，要么选择进货，这时下周销售利润的期望；要么选择不进货，这时下周销售利润的期望。显然，若时，应当选择不进货。如图所示，函数在上通常为一单峰曲线，可得，也即关于变量方程在内的解。
四．点评。在本章涉及的四个贮存模型均被归结为最优化问题，或成本最小化，或利润最大化，这并非偶然，因为人类所从事的一切生产或社会活动均是有目的的，其行为总是在特定的价值观念或审美取向的支配下进行的，因此，当可行方案不唯一的前提下，总是在某中评价指标下选择最优的方案。可以说，最优化思想和方法是数学建模的灵魂。
另外，在两个随机性模型分析中，目标函数选择利润函数，其避免了在“允许缺货的贮存模型”讨论中的许多含糊的地方。
第四章数学建模作业
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