本章研究数学规划模型，其中包括：线性规划、整数规划、非线性规划、多目标规划与动态规划等内容．
线性规划是运筹学的一个重要分支，随着计算机技术的发展，线性规划不仅在理论上已趋向成熟，而且在实际应用中也日益广泛与深入．本节将借助lingo数学软件对线性规划模型进行求解．
在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到最好的经济效果．
引例1 普通生产计划安排问题。
某工厂在计划期内要安排生产ⅰ、ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及、两种原材料的消耗，如表4-1所示．该工厂每生产一件产品ⅰ可获利2元，每生产一件产品ⅱ可获利3元，问应该如何安排计划使该工厂获利最多？
表4.1普通生产计划安排问题。
引例2 奶制品的生产计划问题。
一奶品加工厂用牛奶生产、两种奶制品，1桶牛奶可以在甲类设备上用12小时加工成3公斤，或者在乙类设备上用8小时加工成4公斤，根据市场需求，生产的、全部能售出，且每公斤获利24元，每公斤获利16元．现在加工厂每天能得到50桶牛奶的**，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且甲类设备每天最多能加工100公斤，乙类设备的加工能力没有限制．试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下３个附加问题：
若用35元可以买到1桶牛奶，应否做这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？
若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？
由于市场需求变化，每公斤的获利增加到30元，应否改变生产计划？
1.引例1普通生产计划安排问题的模型建立。
对于引例1，可以设、分别表示在计划期内产品ⅰ、ⅱ的产量．若用表示利润，这时，．因为设备的有效台时为8，因此应有限制条件：；同理考虑原材料的不同限制，可得如下限制条件：，．综上所述，该计划问题可用数学模型表示为：
目标函数：
约束条件：
2.引例2奶制品生产计划问题的模型建立。
对于引例2，可以设每天用桶牛奶生产，用桶牛奶生产．类似引例1可得奶制品生产计划问题的数学模型：
目标函数：
约束条件：
从以上两例可以看出，他们都属于同一类优化问题，他们的共同特征：
每一个问题都用一组决策变量表示某一方案；这组决策变量的值就代表一个具体方案，一般这些变量取值都是非负的；
存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或线性不等式来表示；
都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性函数来表示，这个函数称为目标函数．
满足以上三个条件的数学模型称为线性规划数学模型．其一般形式为：
目标函数：
约束条件：
1.引例1普通生产计划安排问题的模型求解。
使用lingo数学软件对引例１进行求解，编写程序如下：
max=2*x+3*y;
x+2*y<8;
4*x<16;
4*y<12;
end求解结果为：目标函数的最大值，即可获得最大利润１４元；最优生产计划方案是：生产产品ⅰ4件，生产产品ⅱ2件．
2.引例2奶制品生产计划问题的模型求解。
使用lingo数学软件对引例2进行求解，编写程序如下：
max=72*x1+64*x2;
x1+x2<50;
12*x1+8*x2<480;
3*x1<100;
end求解结果为：每天用20桶牛奶生产，用30桶牛奶生产，最大利润是3360元．下面来回答三个附加问题：
⑴针对附加问题1，可假设应投资购买桶牛奶，目标函数应修改为：
关于牛奶的约束条件也应作相应的修改：
通过编程求解得：最大利润增加到3490元，因此，应作该项投资，每天最多购买10桶牛奶．
针对附加问题2，首先将劳动时间480小时增加1个小时，对原问题进行求解，可得最大利润由3360元增加到3362元，其中增加的2元就是劳动时间的影子**．因此，若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时2元．其次，若还想知道以低于每小时2元的**增加劳动时间，最多可购买多少劳动时间？可以对目标函数以及关于劳动时间的约束条件作类似的修改，然后进行求解．例如，若以每小时1.5元的**聘用临时工人，最多可购买53.
333小时．
针对附加问题3，只需改变目标函数中的系数即可．将原来的目标函数改为：，约束条件不变．通过求解可得：最大利润有所增加，由原来的3360元增加到3720元，但生产计划没有改变，仍然是每天用20桶牛奶生产，用30桶牛奶生产．
例1一个家庭有625英亩的土地可以用来种植农作物，这个家庭考虑种植的农作物有玉米、小麦和燕麦，预计可以有1000英亩-英尺的灌溉用水，农场工人每周可以投入的工作时间为300小时，其他的数据在表4-2中给出，为能够获得最大收益，每种作物应该种植多少？
表4.2农场问题的有关数据。
解设应种植玉米英亩，小麦英亩和燕麦英亩．可得如下线性规划模型：
目标函数：
约束条件：
使用lingo数学软件进行求解，编写程序如下：
max=400*x1+200*x2+250*x3;
x1+x2+x3<625;
0.8*x1+0.2*x2+0.3*x3<300;
3*x1+x2+1.5*x3<1000;
end程序运行结果为：应分别种植玉米187.5英亩，小麦437.5英亩和燕麦0英亩，获最大收益162500美元．
例2 某市有甲、乙、丙、丁四个居民区，自来水由、、三个水库**．四个区每天必须得到保证的基本生活用水量分别为30，70，10，10千吨，但由于水源紧张，三个水库每天最多只能**50，60，50千吨自来水．由于地理位置的差别，自来水公式从各水库向各地区送水所需付出的引水管理费不同（见表4-3，其中水库与丁地区之间没有输水管道），其它管理费用都是450元／千吨．根据公司规定，各区用户按照统一标准900元／千吨收费．此外，四个区都向公司申请了额外用水量，分别为每天50，70，20，40千吨．该公司应如何分配供水量，才能获利最多？
为了增加供水量，自来水公司正在考虑进行水库改造，使三个水库每天的最大供水量都提高一倍，问那时供水方案应如何改变？公司利润可增加多少？
表4.3引水管理费。
解决策变量应为、、三个水库分别向甲、乙、丙、丁四个区的供水量．设水库向区的日供水量为千吨，由于水库与丁区之间没有输水管道，即，因此只有11个决策变量．于是可得如下线性规划模型：
目标函数：
约束条件：水库**量限制可以表示为：
各区基本用水量与额外用水量限制为：
使用lingo数学软件进行求解，编写程序如下：
max=(450-160)*x11+(450-130)*x12+(450-220)*x13+(450-170)*x14
(450-140)*x21+(450-130)*x22+(450-190)*x23+(450-150)*x24
(450-190)*x31+(450-200)*x32+(450-230)*x33;
x11+x12+x13+x14<50;
x21+x22+x23+x24<60;
x31+x32+x33<50;
x11+x21+x31<80;
x11+x21+x31>30;
x12+x22+x32<140;
x12+x22+x32>70;
x13+x23+x33<30;
x13+x23+x33>10;
x14+x24<50;
x14+x24>10;
end程序运行结果为：水库向乙区供水50千吨；水库向乙、丁区分别供水50，10千吨；水库向甲、丙分别供水40，10千吨．最大利润为47600元．
对于本例来说，无论是目标函数还是约束条件都显得比较麻烦，特别是目标函数为多项相加．随着水库与居民区个数的增加，程序会更加复杂．下面来研究更一般的编程方法．
为此，需假定水库向丁地区的引入管理费用为无穷大，本例可用1000元／千吨来代替．
使用lingo数学软件中的高级编程技巧进行求解，编写程序如下：
model:
sets:sk/1..3/:g;
dq/1..4/:sl1,sl2;
link(sk,dq):c,x;
endsets
data:c=160 130 220 170
g=50 60 50;
sl1=30 70 10 10;
sl2=80 140 30 50;
enddata
obj] max=@sum(link(i,j):x(i,j)*(450-c(i,j)))
for(sk(i):@sum(dq(j):x(i,j))@for(dq(j):@sum(sk(i):x(i,j))>sl1(j));
for(dq(j):@sum(sk(i):x(i,j))end
程序运行结果完全相同．如果三个水库每天的最大供水量都提高一倍，只需将数据段中的供水量修改成：g=100 120 100；或者对第一个约束条件作简单修改，在小于号后面将供水量扩大2倍，其它条件不变．最后的运行结果为：水库向乙区供水100千吨；水库向甲、乙、丁区分别供水30，40，50千吨；水库向甲、丙分别供水50，30千吨．总利润为88700元．
评注：本例考虑的是将某种物资从若干**点运往一些需求点，在供需量约束条件下使总费用最少，或总利润最大．这类问题一般称为运输问题．
注意：本例目标函数采用的是最大利润，而非最小成本．一般来说，成本最小，未必利润最大．当总收入是常数时，最小成本与最大利润是等价的；若总收入随决策变量的改变而变化时，最小成本与最大利润并不等价．通常追求的目标应该是最大利润，而非最小成本．
在工程技术、经济管理、交通运输和日常生活等诸多领域中，很多实际问题可以归结为线性规划问题，其目标函数和约束条件都是自变量（决策变量）的一次函数（线性函数）．但是，还有另外一些问题，其目标函数和（或）约束条件很难用线性函数表达．如果目标函数或约束条件中包含有非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题．由于计算机技术的快速发展，使非线性规划的理论及其应用在近几十年来得以长驱进展．特别是lingo数学软件的开发与应用，对非线性规划模型的求解提供了很大的帮助．
数学建模第四章
第四章 存贮模型。4.1不允许缺货的确定性贮存模型。工厂要定期地订购各种原料，存放在仓库里供生产之用。商店要成批地购进各种商品，放在货柜中以备零售。水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和航运。不论是原料 商品，还是水的贮存，都有一个贮存多少的问题。原料 商品存得太多，贮存费用 比方仓库租赁费 资金占用须支...
第四章数学建模作业
严婉琳20110008015 邓南广 20110008005 11创新班 3,分析 设为t时刻的酵母菌数，且是连续函数并且可导或分段可导，设时刻酵母菌的增长率满足。是酵母菌固有增长率，称为酵母菌最大容量。得到阻滞增长模型 用分离变量法 1 式满足条件解为。由书本例题可知，散点图呈s型，故模型可简化为...
章绍辉数学建模第四章
第四章。符号说明 酒精量是指纯酒精的质量，单位是毫克 酒精含量是指纯酒精的浓度，单位是毫克 百毫升 t 时刻 小时 x1 t 在时刻t吸收室 肠胃 内的酒精量 毫克 d0 在段时间内喝下2瓶啤酒后吸收室内的酒精量 毫克 c1 t 在时刻t吸收室 肠胃 的酒精含量 毫克 百毫升 c2 t 在时刻t中心...