数学建模第一章

第一章方程（组）模型。

本章学习目的：

1．复习求解方程的基本原理和方法，掌握解方程的图形放**和迭代算法；

2．能利用matlab软件编写迭代算法程序，了解迭代过程的图形表示；

3．熟练掌握用matlab软件的函数来求解方程和方程组；

4．通过范例展现求解实际问题的初步建模过程和matlab程序设计。

1.1 引言。

“方程是很多工程和科学工作的发动机”。研究大型的土建结构、机械结构、输电网络、管道网络，研究经济规划、人口增长、种群繁殖等问题时，简单的分析可以直接归结为线性或非线性方程组，复杂一些要用到（偏）微分方程，求数值解时将转化为n非常大的方程组。若干世纪以来，工程师和科学家花了大量的时间用于求解方程（组），数学家研究各种各样的方程求解方法。

本章我们就是要学习求解线性方程组、非线性方程（组）的方法，以及利用数学软件利用计算机对方程和方程组进行求解。

1.2 方程的求解方法

考虑求方程f(x)=0的解，我们通常采用这样的几种方法：因式分解法、图形放**、数值迭代逼近法。

1．因式分解法：

这是我们最熟悉、常用的一种方法，这个方法的关键在分解因式，包括对多项式函数、三角函数和指数函数等的分解。但对于无法进行分解的函数则无能为力。

2．图形放**：

由于计算机的广泛应用，可以非常方便地作出函数f(x)的图形（曲线），找出曲线与x轴的交点的横坐标值，就可求出f(x)＝0的近似根。这些值尽管不精确，但是直观，方程有多少个根、在什么范围，一目了然。并且可以借助于计算机使用图形局部放大功能，将根定位得更加准确。

3．数值迭代逼近法：

利用图形的方法或连续函数的零点存在性定理，可以推知f(x)在某一区间内有根，我们就可以用数值方法来求方程的根，这就是迭代逼近法。

迭代逼近法分为区间的迭代和点的迭代。

区间迭代又分为对分法和**分割法；点的迭代又分为简单迭代法、单点割线法、两点割线法、牛顿法等。迭代失败后又可以采用加速迭代收敛方法。

1.2.1图形放**。

用图形放**求解方程f(x)＝0的步骤：

1）建立坐标系，作曲线f(x)；

2）观察f(x)与x轴的交点；

3）将其中的一个交点进行局部放大；

4）该交点的横坐标值就是方程的一个根；

5）对所有的交点进行相同的处理，就得到方程的所有解。

例1.1 求方程所有的根及大致分布范围，欲寻求其中的一个实根，并且达到一定的精度。

1）画出的图形；

x=-6:0.01:6;

y=x.^5+2*x.^2+4;

plot(x,y)

grid on; %画坐标格。

我们可以看出方程在－2～＋2范围有一个实根。

2）逐次缩小范围得到较精确的根。

x=-2:0.01:2;

y=x.^5+2.*x.^2+4;

plot(x,y)

grid on

x=-2:0.01:-1.5;

y=x.^5+2.*x.^2+4;

plot(x,y)

grid on

x=-1.6:0.01:-1.5;

y=x.^5+2.*x.^2+4;

plot(x,y)

grid on

因此我们可以看出这个实根的值在-1.55~-1.5之间。

1.2.2 简单迭代法。

1．迭代算法步骤：

对方程f(x)=0求解。

1）对方程经过简单变形得到（不是唯一的），x 被称之为不动点；

2）设置为迭代初值，迭代过程为，n=0,1,2……

3）当两次迭代结果之差小于某个设定的误差值时，我们认为迭代结果是收敛的，可得到结果的近似值。

例1．2 求方程的非负实根。

解：由于函数连续，并且在x=0和x=1处函数值符号相反，可以判断函数在区间（0，1）必有零点，即方程在（0，1）内必然存在根。

1）先将函数变形为；

2）设置迭代初值为0，编程进行迭代。

n=1;x=0;

y=exp(x)/3;

ys=vpa(y,10); 给出y的数值型结果，有效位数为10

z=abs(y-x);

while z>10^(-5)

x=y;y=exp(x)/3;

ys=vpa(y,10);

z=abs(y-x);

n=n+1;

endn,y,ys n =

y =ys =

从该结果可以看出，迭代21次后两次迭代的结果误差值满足小于的条件，结果收敛，迭代结果为0.6190，若保留小数点后10位有效数字则结果为0.6190471917。

例1.3 用迭代方法求解方程。

解：（1）对方程变形为，有不同的形式，比如。a)b)

c)2）设定初始值为1，编程迭代求解。

x=1;y=1;z=1;

for k=1:25

x=x^3-x^2-1;

y=(y^2+y+1)^(1/3);

z=1+1/z+1/z^2;

endx,y,z

x =-infy =

z =在程序中，函数x,y,z分别对应方程（a）（b ）（c），从结果可以看出方程（ a）不收敛，结果趋于负无穷大，方程(b)(c)收敛，结果为1.8393。而且，还可证明（b）比（c）收敛速度快。

注：这段程序和例1.2有所不同，这里是设定了固定的迭代次数。

2．迭代失败的改进：加速迭代收敛方法。

例1.3中方程（a）的迭代是失败的（即迭代不收敛），如何解决？

当我们遇到迭代失败时，可以采用以下的简单方法解决。

我们考虑不直接用迭代，而用和x的加权平均进行迭代，为参数。

即：在满足的条件下，取，由此可以得到。在实际迭代过程中用代替a，因此在迭代中，其加速迭代过程如下：。

采用以上方法对例2.3中方程（a）进行改进，产生新的迭代函数

加速迭代过程为。再编写程序计算：

x=0;for k=1:20

x=(-2*x^3+x^2-1)/(3*x^2+2*x+1);endx

x =x=100;

for k=1:20

x=(-2*x^3+x^2-1)/(3*x^2+2*x+1);endx

x =由此我们看到选用两个不同的初值0和100都能得到结果是1.8393，改进是非常有效的，同学们还可尝试不同的初值，观察其迭代的收敛性。

实验表明，它比（b）、（c）的收敛速度都快。

但要注意，x=1不能作为初值，这会出现被0除的错误。

通过这个例子我们看出，求解方程的迭代函数构造形式多样，不同迭代函数的收敛性和收敛速度都可能不同，需要在遇到具体问题时灵活应用。

1.3 方程组的求解方法。

1.3.1 线性方程组的求解。

我们**性代数中已经学习了线性方程组的求解方法。

对于线性方程组。

可以写成矩阵的形式。

由线性代数的知识可知，线性方程组的解可能出现三种情形：无解、有唯一解、有无穷多组解。这主要取决于系数矩阵a 的秩与增广矩阵（a︱b）的秩是否相等、秩与变量个数是否相等，具体地：

若r(a)≠r(a︱b）,则无解；

若r(a)＝r(a︱b）＝n（n为变量个数），则有唯一一组解；

若r(a)＝r(a︱b）< n，则有无穷多组解。

求矩阵a的秩可以很方便的用matlab的rank(a)函数求得。

求解线性方程组的方法大致可以划分为两类：直接消去法、迭代数值解法。

直接消去法**性代数中已经学过，这里不再赘述。

线性方程组可以看成是非线性方程组的特例，其迭代数值解法相同，在非线性方程组的迭代解法中介绍方法。

1．3．2 非线性方程组的迭代解法。

非线性方程组的一般形式为。

可以改写为等价的方程组。

用这个方程组进行迭代求得精确解。

例1．4 求解方程组。

解：对方程组进行变形，构造如下的迭代函数：

或2）思考：迭代序列如何表示？

求解方程组迭代产生的序列是数组：

对本例选择初始点（0，0），（2，3），（8，9），…分别计算，迭代次数逐渐增加，观察结果。

迭代程序如下：（初始值是（2,3），迭代次数为20次）

x=[2,3];y=[2,3];

for k=1:20

a=0.1*x(1)^2+0.1*x(2)^2+0.8;

x(2)=0.1*x(1)*x(2)^2+0.1*x(1)+0.8;

x(1)=a;

b=(10*y(2)-8)/(y(2)^2+1);

y(2)=sqrt(10*y(1)-8-y(1)^2);

y(1)= b;

endx,y x =

y =从这个结果看出，x(1)=1,x(2)=1,和y(1)=2.1934,y(2)=3.0205是方程组的两组解。

问：程序中a、b变量的作用是什么？取消可以吗？

1.4 matlab软件直接求解法。

1.4.1 任意函数方程与线性方程组可用命令solve( )求解。

solve( )语句的用法：

1．单变量方程：f(x)=0

1）符号解：

例1．5 求解方程：

解：输入：x=solve('a*x^2+b*x+c')

输出为：x =

1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))]

1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))]

或输入：solve('a*x^2+b*x+c')

输出为：ans =

1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))

1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))

2）数字解：

如果不能求得精确的符号解，可以计算可变精度的数值解。

例1.6 解方程：

解：s=solve('x^3-2*x^2=x-1')

s =1/6*(28+84*i*3^(1/2))^1/3)+14/3/(28+84*i*3^(1/2))^1/3)+2/3

-1/12*(28+84*i*3^(1/2))^1/3)-7/3/(28+84*i*3^(1/2))^1/3)+2/3+1/2*i*3^(1/2)*(1/6*(28+84*i*3^(1/2))^1/3)-14/3/(28+84*i*3^(1/2))^1/3))

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