数学建模第一章

第一篇线性规划模型及应用。

第一章线性规划问题的数学模型及其解的性质。

1-1-1线性规划问题的数学模型。

引例：某工厂生产某种型号的机床，每台机床上需要2.9米、2.

1米和1.5米长的三种轴各一根，这些轴需要用同一种圆钢制作，圆钢的长度为7.4米。

如果要生产100台机床，应如何下料，才能使得用料最省？

分析：对于每一根长为7.4米的圆钢，截成2.9米、2.1米和1.5米长的毛坯，可以有若干种下料方式，把它截成我们需要的长度，有以下8种下料方式(表1-1-1)：

表1-1-1下料方式及每种方式毛坯的数目。

下料方式是从大到小、从长到短的顺序考虑的。

1.假若考虑只用方式下料，需要用料100根；

2.若采用木工师傅的下料方法：先下最长的、再下次长的、最后下短的(见表1-1-2)：

表1-1-2 木工师傅的下料情况的用料表。

动一下脑筋，就可以节约用料4根，降低成本。但这仍然不是最好的下料方法。

3.如果要我们安排下料，暂不排除8种下料方式中的任何一种，通过建立数学模型（线性规划数学模型）进行求解，寻找最好的下料方案。

设用方式下料的根数分别为，则可以建立线性规划数学模型：

用lingo10.0软件求解，程序如下：

min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8;

2*x1+x2+x3+x4>=100;

2*x2+x3+3*x5+2*x6+x7>=100;

x1+x3+3*x4+2*x6+3*x7+4*x8>=100;

根据输出结果，得： (最优解不唯一)；或。这就是最优的下料方案。

下料问题是在经济管理中经常遇到的问题，引例是条材下料问题、还有板材下料问题（如五金厂生产保险柜、服装厂下料等）或者更复杂的下料问题。请考虑一下，下料方式能不能用计算机来设计？本问题能不能将目标函数确定为余料最少？

这都是值得读者思考的问题。

在生产管理和经营活动中，经常考虑这样一类问题：如何合理地利用有限的人力、物力和财力等资源，以便得到最好的经济效果。下面分四个方面介绍典型的建立线性规划模型的方法。

一、合理下料问题。

例1 某工厂生产某种型号的机床，每台机床上需要2.9米、2.1米和1.

5米长的三种轴分别为1根、2根、1根，这些轴需要用同一种圆钢制作，圆钢的长度为7.4米。如果要生产100台机床，应如何下料，才能使得用料最省？

关于下料方式的分析如引例，下料方式见表1-1-1，该问题的数学模型为：

设用方式下料的根数分别为，则：

可以用lingo10.0求解，得x1=20,x2=60,x3=0,x4=0,x5=0,x6=40,x7=0,x8=0;mins=120。

注：本题的最优解不唯一。

一般下料问题：设用某种材料（条材或板材）下零件的毛坯，根据过去的经验，在一件原料上有种不同的下料方式，每种合理的下料方式可得各种毛坯个数及每种零件的需要量如表1-1-3。问：

应怎样安排下料方式，既能满足需要，又使得用料最省？

表1-1-3 一般下料问题的基本数据。

设用方式下料的数量为，则建立线性规划问题数学模型：

或者。建立线性规划问题数学模型的基本要素：

决策变量明确问题中有待确定的未知变量（称为决策变量），并用数学符号表示；

约束条件明确问题中所有的限制条件（约束条件）并且用决策变量的一些表达式（线性等式或线性不等式）来表示；

目标函数明确解决问题要达到的目标，并用决策变量的线性函数（称为目标函数）表示，按问题的要求，求其最大值或最小值。

通常把决策变量、约束条件和目标函数称为线性规划数学模型的三个基本要素。

从我们所建立的数学模型来看，目标函数是决策变量的线性函数、约束条件是决策变量的线性等式或不等式，因此我们称此为线性规划（linear programming，简记为lp）模型。

二、资源合理利用（资源的最优配置）问题。

例2 某工厂要安排一种产品的生产，该产品有ⅰ、ⅱ三种型号，生产这种产品均需要两种主要资源：原材料和劳动力。每件产品所需资源数、现有资源数量以及每件产品的****如表1-1-4。

假定该产品只要生产出来即可销售出去，试确定这三种产品的日产量使总产值最大。

表1-1-4 资源利用问题的数据。

解：设该工厂计划日产产品ⅰ、ⅱ的数量分别为件，则可建立线性规划数学模型：

通过lingo10.0求解，程序为：

max=4*x1+5*x2+3*x3;

4*x1+3*x2+6*x3<=120;

2*x1+4*x2+5*x3<=100;

得到最优解：，

一般地，用种资源可以生产种产品。现有原料数（可利用资源数量）、每单位产品所需原料数（消耗系数）及每单位产品可得利润如表1-1-5。问：应如何组织生产才能使总利润最大？

表1-1-5 一般资源利用问题的数据。

设表示生产产品的数量，则可建立线性规划数学模型：

这种类型的资源利用（或者称为资源配置）问题是最常见的，而且在经济分析中是最重要的。只要求出最优解，最优计划即可作出，并且可以进一步作经济分析和优化分析。

三、配料问题（食谱问题）

例3 某公司饲养实验用的动物以供**，已知这些动物的生长对饲料中3种主要营养成分（蛋白质、矿物质和维生素）特别敏感，每个动物每天至少需要蛋白质70g，矿物质3g，维生素10mg，该公司能买到5种不同的饲料，每种饲料1kg所含各种营养成分和成本如表1-1-6，求既能满足动物生长需要，又使总成本最低的饲料配方。

表1-1-6 配料（食谱）问题的数据。

解：设配方中需要的数量别为kg，则可建立线性规划数学模型：

通过lingo10.0求解，程序为：

min=0.2*x1+0.7*x2+0.4*x3+0.3*x4+0.5*x5;

0.3*x1+2*x2+x3+0.6*x4+1.8*x5>=70;

0.1*x1+0.05*x2+0.02*x3+0.2*x4+0.05*x5>=3;

0.05*x1+0.1*x2+0.02*x3+0.2*x4+0.08*x5>=10;

求解，得x1=0，x2=0，x3=0，x4=39.74，x5=25.64，mins=24.74。

说明：该模型应该还要增加约束！（读者思考一下，为什么？）

一般地，用n种原料制成具有m种成分的产品，其所含各种成分分别不少于，各种原料的单价以及原料所含成分的数量如表1-1-7。应如何配料才能使总成本最小？

表1-1-7 一般配料（食谱）问题的数据。

设需要原料的数量为单位，则可建立线性规划数学模型：

注：应该还要增加一个约束条件：（进行总量控制）。

四、运输问题。

例4 有两个砖厂，其产量分别为23万块与27万块，它们生产的砖**三个工地，其需要量分别为17万块，18万块和15万块。而自砖厂到工地运价如表1-1-8（单位：元/万块）。

问应如何调运，才使总运费最省？

表1-1-8 运输问题的数据。

解：设由砖厂**工地的数量为，则可以建立线性规划数学模型：

用lingo10.0编程：

min=50*x11+60*x12+70*x13+60*x21+110*x22+60*x23;

x11+x12+x13=23;

x21+x22+x23=27;

x11+x21=18;

x12+x22=17;

x13+x23=15;

通过求解得：x11=6，x12=17，x13=0；x21=12，x22=0，x23=15；mins=2940

一般地，某种物资有个产地：，联合**个销地。各产地产量、各销地销量、产地到销地的单位产品运价如表1-1-9，应如何组织**才能使得总运费最省？

表1-1-9 一般运输问题的数据。

设表示产地**销地的数量。

当产销平衡（）时，数学模型为：

当产销不平衡时，（产量大于销量）数学模型为：

类似的模型还有农作物布局问题：

某农场要在这块土地上种植种农作物。土地的面积、农作物的计划播种面积以及作物在土地上的单产如表1-1-10。应如何安排种植计划，才使总产量最大？

表1-1-10 农作物布局问题的数据。

设表示土地种植农作物的面积，则线性规划模型：

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