1.基本实验。
1）贷款问题。
解：（1）设mk为第k个月还款后所欠贷款余额，n为每月的等额数，单位万元，()
则有：m1=20（1+0.6%）-n
m2=20-n（1+0.6%）-n
m3=20-n（1+0.6%）-n
mk=20-n-n- …n（1+0.6%）-n
当第20年结束时即k=240时mk=0
则有：0=20-n-n- …n（1+0.6%）-n
n=0.157469834（万元）即1574.70元。
总共还款额为240n=37.79276036万元。
2）由1知。
mk=20-n-n- …n（1+0.6%）-n
n=0.157469834（万元）
满5年时，k=60
m60=20-n--…n(1+0.6%)-n
17.3034933万元。
3）由（2）知m60=17.3034933万元。
设在今后15年每月还款x万元，第k个月后剩余款为yk万元，()
则有。y1=m60（1+0.8%）-x
y2=m60-x（1+0.8%）-x
m3=m60-x（1+0.6%）-x
yk=m60-x-x- …x（1+0.8%）-x
y180= m60-x-x- …x（1+0.8%）-x
即 17.304933=0
x=0.181732925（万元） 即1817.33元。
1. 20年分期付款总额为37.79276036万元，每个月为0.157469834（万元）即1574.70元。
2.通过广告公司付款总额为32.12384614+2=34.12384614万元。
3. 如果先付给贷款公司2万元，相当于只贷款了18万，每月分期付款考虑其他因素不变，则可得：每个月还款1417.
20元，总还款额为34.0127万元，低于贷款公司的34.12384614万元，所以不需要通过广告公司还清贷款。
2）冷却定律与破案：
解：设受害者死亡的时间为，身体温度随时间t的变化为t，则由题温度为t的物质在的环境中冷却速度与温差（t-）成正比可知：
两边同时积分可得。
由题中条件可以得出下列方程。
解方程组可得。
综上可知死者的死亡时间为下午5时41分，本题中张某完全有时间可能在打完**后**杀人，故不能排除嫌疑。
3.锻炼想象力、洞察力、判断力的问题；
解：1）就像在8点的时候有两个人分别从山上与山下同时出发，一人下山，一人爬山，如果二人的行走路线相同，则必定会在途中相遇。即同一时刻，同一地点。
2）可以使从乙站发往甲站的车比甲站发往乙站的车晚发九分钟，这样的话每一个十分钟里只有一分钟是搭乘由甲到乙，九分钟为从乙地到甲地。
3）设张先生步行的时间为t小时，他妻子出发接他的时刻为t;
那么一般张先生到家的时间为t1=18-t+18=36-t
当张先生提前半小时到火车站的的话张先生到家的时间为。
t2=17.5+t+17.5+t-t=35+2t-t
由题目条件可以得知。
t1-t2=1/6
综上可得步行时间为t=5/12小时，即25分钟。
4）小狗的奔跑距离与他们二人行走的距离之和相等，所以当他们回家时，小狗奔跑的距离为3公里，当他们上学时可以考虑为放学的倒放，即为当他们到达学校是即为放学时小狗开始向他们奔跑，即小狗在家中。
加分实验。解：（1）由本题可知对于评委打分问题一般要求是公平公正，原则上认为所有的评委都是公正的，但是由于人情世故的原因，凡是涉及评委自身或者由评委a有一定关系时，都要考虑到避嫌的问题，所以在本题中一名评委不参与投票。
2）对于选手甲而言，本单位的评委a可能会对甲的申请方案有更加深入的了解，可能会给出好的评判，另一方面同是本单位的同事可能会有所偏颇。但是就评分而言，由于评委对一个申请者了解的多，可能会更加青睐，所以甲的抱怨有一定的原因。
3）由于同事的原因可能引人非议，故而在评分时需要制定一个方案以减少评分的不公正，可以采取以下方案。
方案一：所有的评委均参与投票，但是扣掉一个最高分，扣掉一个最低分后再取均值。
方案二：所有的评委均参与投票，评委a的评分取方案一中的均值，然后将所有评委的评分再取一次均值。
方案三：令a评分为x，其他n个评委评分为m
直接取均值f1=
不计入a时，均值f2=
有题可知f1偏大，f2偏小。
折中可以取f==
这样取得分值可以进一步减少不公平性。
数学建模第一章
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