竞赛热点。
1．反证法的实质。
欲证命题“若a则b”为真，只需说明b不成立不行，怎么说明b不成立不行呢？若由b不成立，经过严谨的推理，推出了矛盾，显然就可以说明b不成立不行，从而就迫使b必须成立。在由b不成立推导矛盾的过程中，完全可以使用题设条件（或者部分题设条件），而最终的矛盾也不一定是与题设条件（或部分题设条件）矛盾。
在许多时候，这种矛盾是指与已知公理、定理、定义所发生的矛盾，或者是与反证法的反投之间的矛盾，或者是在推理的过程中产生的两个命题间的矛盾，等等。
经过上述分析，我们不难明确运用反证法证明“”，其实质是在进行“a且且”的推理。而的逆否命题为，所以将反证法的实质视为证明原命题的逆否命题，实际上是对于反证法应用范围的缩小，是对于反证法的一种曲解。
2．应用反证法的前提是正确反设。
正确反设是实施反证法的第一步，此处的关键是逻辑知识而不全是数学知识。如何反设，通常的做法是：在弄清楚b的逻辑结构之后，运用逻辑知识与数学知识写出的结构。
事实上，由b到，只需进行三个方面的互换：全称与特称互换、肯定与否定互换、“且”与“或”互换。
解题示范。例1：已知，且试证“数列或者对任意的自然数都满足，或者对任意的自然数都满足”。当上述题目运用反证法否定结论的时候，应为（ ）
a．对任意的自然数，有。
b．存在正整数，使得。
c．存在正整数，使得且。
d．存在正整数，使得。
思路分析：正确的反设是使用反证法的前提，反设时，一定要认清楚命题结论的逻辑结构。该命题目的结论意指数列单调递增或者单调递减，即严格单调。
其否定应为：或者为常数列，或者为摆动数列。
解：选d例2：用反证法证明：三角形至少有两个锐角：
思路分析：此命题看似简单，但是在运用反证法证明时，很容易出现反设错误。
证明：假设存在一个，最多有一个锐角，从而至少有两个非锐角。不妨设，，于是而，从而。这显然与三角形的内角和定理矛盾。这一矛盾说明任何三角形至少有两个锐角。
举一反三：你在证明中是否用了下述反设：任何三角形只有一个锐角；存在一个三角形，只有一个锐角；所有三角形最少有两个钝角；存在一个三角形最少有两个钝角；所有三角形最少有两个直角；存在一个三角形最少有两个直角。
假如你用了，那么你就错了。请分析其中的知识错误与逻辑错误。正确的反设只能如上，当然，矛盾的产生不一定如上。
例3：若是正整数，求证：分数是既约分数（即最简分数，分子与分母没有公约数）。
思路分析：既约分数即为已经约分过的分数，欲证结论成立，只需论证分子、分母存在公约数时，公约数只能为1，因此题目适宜用反证法证明。
证明：设不是既约分数，那么它的分子、分母有公约数，设公约数为，且都是正整数，即。
所以，即，所以。
因为整数的和、差、积仍是整数，且只有乘数和被乘数都是时，积才能等于1，所以。
所以分子、分母有公约数的假设不能成立。
因此分数是既约分数。
例4：设，求证：中至少有一个不小于。
思路分析：题目属于“至少型命题”，适宜用反证法证明。
证明：假设。
记此三式分别为①、②则由①、②得。
两式相加得。
由②、③得。
两式相加得。
显然④与⑤矛盾，所以假设不成立，所以中至少有一个不小于。
举一反三：如此例，要证明的结论是“至多、至少”时 ，还是比较容易判断需要用反证法，从证明过程可以看出难点是“引出矛盾”，需具有一这一的能力，因此反证法在高考中很少要求，但是在竞赛中时有出现。
例5：若下列方程，中至少有一个方程有实根，试求实数的取值范围。
思路分析：三个方程中至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根。先求出反面情况时的取值范围，则所得范围的补集就是正面情况的答案。
解：设三个方程均无实根，则有：
解得，即。所以当或时，三个方程中至少有一个方程有实根。
举一反三 “至少”、“至多”问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单。本题还用到了“判别式法”、“补集法”（全集r），也可以从正面直接求解，即分别求出三个方程有实根时（）的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集。两种解法都要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻。
例6：给定实数且，设函数（其中且），证明：
经过这个函数图象上任意两个不同点的直线不平行于轴；②这个函数的图象关于直线成轴对称图象。
思路分析：“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设。
证明：①设是函数图象上任意两个不同的点，则。
假设直线平行于轴，则必有，即，整理得。
因为，所以，这与已知“”矛盾。
因此假设不对，即直线不平行于轴。
由得，即，所以，即原函数的反函数为，图象一致。
由互为反函数的两个图象关于直线对称可得，函数的图象关于直线成轴对称图象。
点评：对“不平行”的否定性结论使用反证法，在假设“平行”的情况下，容易得到一些性质，经过正确无误的推理，导出与已知互相矛盾。第②问中，对称问题使用反函数的对称性进行研究，方法比较巧妙，要求熟练运用反函数的求法和性质。
例7 ：对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点。如果函数有且只有两个不动点，且。
1）求函数的解析式；
2）已知各项不为零的数列满足·，求数列的通项；
3）如果数列满足，求证：当时，恒有成立。
思路分析：第（3）小题是一道恒成立问题，可以考虑运用反证**证。
解：（1）依题意有，化简为，由韦达定理得。
解得，代入表达式得，由得。
又因为，若，则不止有两个不动点，所以，故。
2）由题设得·，解得，（*
且，以代得（**
由（*）与（**两式相减得，即，所以或。
以代入（*）得，解得（舍去）或。
由，若得，这与矛盾，所以，即是以为首项，为公差的等差数列，所以。
3）采用反证法，假设，则由（1）可知，所以·，即，有，而当时，所以，这与假设矛盾，故假设不成立，所以。
例8：实数满足，且。求证：
分析：这是一道美国数学竞赛试题，直接证明比较困难，因此可考虑运用反证法。
证明：设中有个非负数，记为，有个负数，记为，，…其中，且。
不妨设，即。
因为，又因为，则，所以。
因为，所以。
又因为，所以。
因为，故，且，则。
所以都为非负数。
即，因而，这与相矛盾。
即假设不成立，所证结论成立。
点评：反证法的实质是从否定结论出发，通过逻辑推理导出矛盾。运用“正难则反”的策略是证明不等式的常见技巧。
能力测试。能力测试。
1．“a不是b的子集”的充分必要条件为（ ）
a．若则。b．若则。
c．存在，又存在。
d．存在。2．否定“自然数中恰好有一个偶数”时的正确反设为（ ）
a．都是奇数b．都是偶数。
c．至少有两个偶灵敏 d．或都是奇数或至少有两个偶数。
3．已知任意具有性质p，则为（ ）
a．存在不具有性质pb．不存在具有性质p
c．任意不具有性质pd．存在具有性质p
4．已知b：存在具有性质p，则为（ ）
a．存在不具有性质 p b．不存在具有性质p
c．任意不具有性质p d．存在具有性质p
5．已知任意具有性质p且具有性质q，则为（ ）
a．任意具有性质p且具有性质q
b．任意具有性质p或性质q
c．存在不具有性质p或不具有性质q
d．存在具有性质p且具有性质q
6．已知命题对任意的，有，则是（ ）
a．存在，有 b．对任意的，有。
c．存在，有 d．对任意的，有。
7．存在，使得对于任意都具有性质p，则为。
8．任意，都存在，具有性质p，则为。
9．已知是互不相等的非零实数，求证：三个方程，，至少有一个方程有两个相异实根。
10．若均为实数，且，，则中是否至少有一个大于零？请说明理由。
11．设s为平面上的一个有限点集（点数），其中若干点染上红色，其余的点染上蓝色，设任何3个及3个以上的同色的点不共线。求证：存在一个三角，使得。
1）它的3个顶点涂有相同颜色；
2）这个三角形至少有一边上不包含另一种颜色的点。
12．平面上给定五点，其中任何三点不在一直线上。试证：任意地用线段连结某些点（这些线段称为边），若所得到的图形中不出现以这五点中的任何三点为顶点的三角形，则这个图形不可能有7条或更多条边。
13．某校组织了20次天文观测活动，每次有5名学生参加，任何2名学生都至多同时参加一次观测。求证：至少有21名学生参加过这些观测活动。
14．已知，求证：
15．设是定义在上的函数，若存在，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间为含峰区间。
对任意的上的单峰函数，下面研究缩短其含峰区间长度的方法。
1）证明：对任意的，若，则为含峰区间；若，则为含峰区间；
2）对给定的，求证：存在，满足，使得由（1）所确定的含峰区间的长度不大于；
3）选取，由（1）可确定含峰区间为或，在所得的含峰区间内选取，由与类似地可确定一个新的含峰区间，在第一次确定的含峰区间为的情况下，试确定的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）。
冲击金牌。16．求最小正整数，使在任何个无理数中，总有3个数，其中每两个数之和都仍为无理数。
17．正整数（可以有相同的）使得两两不相等。问：中最少有多少个不同的数？
18．已知求证：数列中无完全平方数。
八年级数学反证法
11.6 反证法 导学案。高柳初级中学主备 刘媛媛审核 梁春永。课本内容 p137 138 课前准备 三角尺。学习目标 1 通过实例，体会反证法的含义 2 了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题 一 自主预习课本p137 p138内容，独立完成课后练习 后，与小组同学交流 课前完成 二 结合...
八年级数学反证法
4.4反证法。教学目标。1 通过实例，体会反证法的含义 2 了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题 3 理解本节中关于两线相交与平行的又一判定方法 重点和难点。本节教学的重点是反证法的含义和步骤 课本 合作学习 要求用两种方法完成平行线的传递性的证明，有较高难度，是本节教学的难点 教学过程。...
八年级数学反证法
又已知 过直线12外一点p有两条直线11,13与直线12平行，这与相矛盾，假设不成立，即求证的命题成立，13与12相交 教师简单引导学生小结 证明两线相交的又一判定方法 课本黑体字 3 根据上述填空，讨论得出反证法的一般步骤 学生活动 讨论后举手回答，其他同学相互补充，教师一边引导一边板书反证法的一...