设矩阵可逆，则存在若干个初等矩阵使。
式两边同时右乘，又得。
式表明：把化为单位矩阵的初等行变换同时把i化为。
由此得矩阵求逆的第三种方法：
例求矩阵的逆矩阵。
解 所以，▌
推论设a是n阶方阵，若存在n阶方阵b使ab=i或ba=i，则a可逆且。
性质。1）若a可逆，则也可逆，并且。
2）若a可逆，则也可逆，且。
3）若a与b是同阶可逆矩阵，则ab也可逆，且。
矩阵可逆性的判别与逆矩阵计算的方法之小结：
1）根据可逆矩阵的定义；
（2）利用初等行变换；
3）利用可逆的性质。
例设b是n阶可逆矩阵，令。
证明：当时，a可逆，且。
证因。故可逆，且。
例设a与b是同阶方阵，且a、b、a+b都可。
逆，证明：也可逆。
证：因为a与b都可逆，故存在与使。
于是，又均可逆，故。可逆，且。
定理设a是n阶方阵，则齐次线性方程组ax=0有非零解的充分必要条件是a不可逆。
矩阵方程：ax = c， xb = d， axb = f
其中a、b、c、d、f均为已知矩阵，而x为未知矩阵。
一般情况下，系数矩阵a、b都是可逆矩阵。此时，ax = c
xb = d
axb = f
例解矩阵方程。
例解矩阵方程。
例已知矩阵a、b、x满足下述关系。
其中。解由可得。
例设矩阵满足， 其中。
证明：可逆；求。解
满秩。由此得可逆。
由可得 故。
另法）由得
整理后可得。
于是可逆。由上式得。
1.5 分块矩阵。
一、分块矩阵的运算。
例设。计算。
记。则，又
由此得。定义设a是m×n矩阵，在a的行之间加入条横线，在a的列之间加入条竖线，则a被分成s×t 个小矩阵，依次记为。此时，a可写为。
把a视为以为元素的形式上的s×t矩阵，称之为分块矩阵，也称为对a的分块，每个小矩阵称为a的子块。
常见分块：根据元素的排列特性；
按行（列）；
两个极端。例。
问题：如何分块，使。
1）分块矩阵之间的形式运算有意义。
2）块之间的矩阵运算有意义。
要求： 分块运算需如下进行。
（1）加法：a+b （a与b分块方法相同）
（2）数乘：ka （a的分法任意）
（3）乘法：ab （a的列与b的行分法相同）
（4）转置：a （a的分法任意）
例已知m×n矩阵a，则对n×p矩阵b，等式 ab=o成立的充分必要条件为：b的p个列恰是齐次线性方程组。
ax = 0
的p个解。证对按列分块，则，故
即是齐次线性方程组的解。▌
例设a是n阶方阵。若存在n阶非零方阵b，使。
ab=o则a是降秩矩阵。
证明由上例的结论知，b的每个列均是齐次线性方程组。
ax = 0
的解。因b≠o，故b至少有一列的元素不全为零，该列即是上述齐次方程组的非零解。于是，由gauss消元法可得，a用初等行变换化成的阶梯形矩阵中，至少有一个零行。
所以，秩(a) 例已知分块矩阵。 可逆，其中a、d是可逆的子块，求。 证明已知t可逆，故存在。根据t，对分块。 其中是分别与a、d同型的子块。因为。 其中是分别与a、d同型的单位子块，所以。 由此解出。于是。 二、分块矩阵的初等变换。 定义对分块矩阵。 的下述三种变换称为分块初等行（列）变换： 1） 用可逆矩阵p左（右）乘a的某一行（列） 全部子块。 2） a的某一行（列）全部子块的左（右）侧乘上矩阵p加到另一行（列）上。 3） 互换a的两行（列） 这里，矩阵p应使矩阵运算可以进行。 定义称下述分块矩阵。 为分块单位矩阵，其中都是单位矩阵。 定义对分块单位矩阵做一次分块初等变换，所得分块矩阵称为分块初等矩阵。 性质分块初等矩阵是满秩矩阵。 定理对一个分块矩阵a做一次分块初等行（列）变换等同于在a的左（右）侧乘上一个对应的分块初等矩阵。 推论1 若分块矩阵a经过有限次分块初等变换化为分块矩阵b，则a相抵于b。 推论2 分块初等变换不改变分块矩阵的秩。 例设分块矩阵。 中均为可逆矩阵，证明可逆，并求。 证明 由此得。 令 则，故可逆，并且。 定理。1) 设a与b是同型矩阵，则。 秩(a+b)秩(a)+秩(b)； 2) 设a是s×n矩阵，b是n×t矩阵，则。 秩(ab)秩(a)+秩(b) -n。 推论设a是s×n矩阵，b是n×t矩阵。若。 ab = 0，则。 秩(a)+秩(b)。 实验四matlab数值计算。一 实验目的。1.掌握线性方程组的求解方法。2.掌握数值插值与曲线拟合的方法及应用3.掌握求数值导数和数值积分的方法4.掌握非线性方程组的求解方法。二 实验内容。1.求解线性方程组2.线性插值与曲线拟合3.求数值导数和数值积分4.非线性方程组的数值解。三 实验过程。1.求... 关于两个管理层次在工程建设各个阶段的咨询业务，表1 2进行了对比 项目管理层次阶段性工作和工程咨询业务关系表。2007年真题 项目执行管理层次委托的融资咨询是项目周期中 的工作。实施阶段 b 完工阶段 c 准备阶段 d 策划阶段。答案 c2007年真题 在项目实施阶段为项目决策管理层次提供的工程咨询... 关于两个管理层次在工程建设各个阶段的咨询业务，表1 2进行了对比 项目管理层次阶段性工作和工程咨询业务关系表 重点每年都考 2007年真题 项目执行管理层次委托的融资咨询是项目周期中 的工作。实施阶段 b 完工阶段 c 准备阶段 d 策划阶段。答案 c2007年真题 在项目实施阶段为项目决策管理层次...实验第4讲
第4讲概述
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