一、选择题。
1．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )
a. ＋1 b. ＋1
c. ＋1 d. ＋1
解析依题意知：2a＝18，∴a＝9,2c＝×2a，∴c＝3，b2＝a2－c2＝81－9＝72，∴椭圆方程为＋＝1.
答案 a2．椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是a，b，左、右焦点分别是f1，f2.若|af1|，|f1f2|，|f1b|成等比数列，则此椭圆的离心率为( )
abcd. －2
解析因为a，b为左、右顶点，f1，f2为左、右焦点，所以|af1|＝a－c，|f1f2|＝2c，|f1b|＝a＋c.
又因为|af1|，|f1f2|，|f1b|成等比数列，所以(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2.
所以离心率e＝＝，故选b.
答案 b3．已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈，则实数m的取值范围是( )
ab. cd. ∪
解析椭圆标准方程为x2＋＝1.当m>1时，e2＝1－∈，解得m>；当0答案 c
4．设f1、f2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，p是第一象限内该椭圆上的一点，且pf1⊥pf2，则点p的横坐标为( )
a．1 b. c．2d.
解析由题意知，点p即为圆x2＋y2＝3与椭圆＋y2＝1在第一象限的交点，解方程组得点p的横坐标为。
答案 d5．椭圆＋＝1(a>b>0)的两顶点为a(a,0)，b(0，b)，且左焦点为f，△fab是以角b为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为( )
a. b.
c. d.
解析根据已知a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝，故所求的椭圆的离心率为。
答案 b6．已知椭圆c：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为。双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆c有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为。
a. ＋1b. ＋1
c. ＋1d. ＋1
解析因为椭圆的离心率为，所以e＝＝，c2＝a2，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2.双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，x＝±b，y2＝b2，y＝±b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆c的交点坐标为，所以四边形的面积为4×b×b＝b2＝16，所以b2＝5，所以椭圆方程为＋＝1.
答案 d二、填空题。
7．设f1、f2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，p为椭圆上一点，m是f1p的中点，|om|＝3，则p点到椭圆左焦点的距离为___
解析由题意知|om|＝|pf2|＝3，∴|pf2|＝6.∴|pf1|＝2×5－6＝4.
答案48．在等差数列中，a2＋a3＝11，a2＋a3＋a4＝21，则椭圆c：＋＝1的离心率为___
解析由题意，得a4＝10，设公差为d，则a3＋a2＝(10－d)＋(10－2d)＝20－3d＝11，∴d＝3，∴a5＝a4＋d＝13，a6＝a4＋2d＝16>a5，∴e＝＝.
答案 9. 椭圆=1的焦点为f1和f2，点p在椭圆上。如果线段pf1的中点在y轴上，那么|pf1|是|pf2|的___倍．
解析不妨设f1（－3，0），f2（3，0）由条件得p（3，±）即|pf2|=，pf1|=，因此|pf1|=7|pf2|.
答案 710.如图，∠ofb＝，△abf的面积为2－，则以oa为长半轴，ob为短半轴，f为一个焦点的椭圆方程为___
解析设标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题可知，|of|＝c，|ob|＝b，∴|bf|＝a，∠ofb＝，∴a＝2b.
s△abf＝·|af|·|bo|＝ a－c)·b
(2b－b)b＝2－，b2＝2，∴b＝，∴a＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.
答案 ＋＝1
三、解答题。
11．如图，设p是圆x2＋y2＝25上的动点，点d是p在x轴上的投影，m为pd上一点，且|md|＝|pd|.
1)当p在圆上运动时，求点m的轨迹c的方程；
2)求过点(3,0)且斜率为的直线被c所截线段的长度．
解 (1)设m的坐标为(x，y)，p的坐标为(xp，yp)，由已知得。
p在圆上，∴x2＋2＝25，即c的方程为＋＝1.
2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝ (x－3)，设直线与c的交点为a(x1，y1)，b(x2，y2)，将直线方程y＝ (x－3)代入c的方程，得。
＝1，即x2－3x－8＝0.
x1＝，x2＝.
线段ab的长度为|ab|＝
12．设f1，f2分别为椭圆c：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过f2的直线l与椭圆c相交于a，b两点，直线l的倾斜角为60°，f1到直线l的距离为2.
1)求椭圆c的焦距；
2)如果＝2，求椭圆c的方程．
解 (1)设椭圆c的焦距为2c，由已知可得f1到直线l的距离c＝2，故c＝2.
所以椭圆c的焦距为4.
2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由＝2及l的倾斜角为60°，知y1<0，y2>0，直线l的方程为y＝ (x－2)．
由消去x，整理得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0.
解得y1＝，y2＝.
因为＝2，所以－y1＝2y2，即＝2·，解得a＝3.
而a2－b2＝4，所以b2＝5.
故椭圆c的方程为＋＝1.
13．如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆c：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆c的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．
1)求椭圆c的方程；
2)已知点p(0,1)，q(0,2)．设m，n是椭圆c上关于y轴对称的不同两点，直线pm与qn相交于点t.求证：点t在椭圆c上．
1)解由题意知，b＝＝.
因为离心率e＝＝，所以＝＝.
所以a＝2.
所以椭圆c的方程为＋＝1.
2)证明由题意可设m，n的坐标分别为(x0，y0)，(x0，y0)，则直线pm的方程为y＝x＋1
直线qn的方程为y＝x＋2
法一联立①②解得x＝，y＝，即t.由＋＝1，可得x＝8－4y.
因为2＋2＝
＝＝＝1，所以点t的坐标满足椭圆c的方程，即点t在椭圆c上．
法二设t(x，y)，联立①②解得x0＝，y0＝.
因为＋＝1，所以2＋2＝1.
整理得＋＝(2y－3)2，所以＋－12y＋8＝4y2－12y＋9，即＋＝1.
所以点t坐标满足椭圆c的方程，即点t在椭圆c上．
14．如图，设椭圆的中心为原点o，长轴在x轴上，上顶点为a，左、右焦点分别为f1，f2，线段of1，of2的中点分别为b1，b2，且△ab1b2是面积为4的直角三角形．
1)求该椭圆的离心率和标准方程；
2)过b1作直线l交椭圆于p，q两点，使pb2⊥qb2，求直线l的方程．
解 (1)如图，设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，右焦点为f2(c,0)．
因△ab1b2是直角三角形，又|ab1|＝|ab2|，故∠b1ab2为直角，因此|oa|＝|ob2|，得b＝.
结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率e＝＝.
在rt△ab1b2中，oa⊥b1b2，故s△ab1b2＝·|b1b2|·|oa|＝|ob2|·|oa|＝·b＝b2.由题设条件s△ab1b2＝4得b2＝4，从而a2＝5b2＝20.因此所求椭圆的标准方程为：
＋＝1.
2)由(1)知b1(－2,0)，b2(2,0)．由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为x＝my－2.代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0.
设p(x1，y1)，q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此y1＋y2＝，y1·y2＝－，又＝(x1－2，y1)，＝x2－2，y2)，所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2
(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16
－－＋16＝－，由pb2⊥qb2，得·＝0，即16m2－64＝0，解得m＝±2.
所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.
实验第4讲
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第4讲概述
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