第八单元数学广角。
教材分析与目标定位：
数与形》是本册教材第八单元《数学广角》的内容。作为教材新增的内容，我们考虑最多的还是目标的定位问题。按照传统的教学，例2以及后面编排的几道习题都属于思考题甚至竞赛题，是供学有余力的学生学习的，对普通学生来说要求偏高。
现在教材作为例题编写，在教学中究竟该达到怎样的要求？我们把握不定。尽管在以前的学习中，曾经出现过一些有关数与形的练习，学生结合“形”来分析问题有一定的基础。
如在第一学段要求学生通过观察形，发现其中的一些规律，并解决简单的问题。但纵观教材并没有系统的教学数与形结合的内容，所涉及的练习也比较分散。因此，我们理解的这节课的意图是：
试图通过一道特殊的分数加法的计算，让学生体会进一步数与形之间的内在联系，借助“形”沟通加法与减法的关系及理解“无限接近1”。并能把数形结合的思想迁移到解决其他一些实际问题，帮助学生积累经验。所以将目标定位如下：
1．让学生经历观察、操作、归纳等活动，帮助学生借助“形”来直观感受与“数”之间的关系，体会有时“形”与“数”能互相解释，并能借助“形”解决一些与“数”有关的问题。
2．培养学生通过数与形结合来分析思考问题，从而感悟数形结合的思想，提高解决问题的能力。
其中的教学重点是：借助“形”（面积模型、线段图、直角坐标系等）感受与“数”之间的关系，培养学生用“数形结合”的思想解决问题。教学难点是：让学生体会极限思想。
教学设计的基本思路：
为达到以上目标，我们在具体的教学过程中力求体现以下几点：
1．借助图形沟通关系，体验数形结合的好处。
有时，仅仅通过算式本身去发现规律，对于学生来说有一定的困难。因此，我们要给学生提供一种桥梁，而图形正是一种有效的桥梁。例2的教学就是如此，通过图形直观的表征，让学生更加清晰发现“＋＋和“1-” 求的都是同一个阴影部分的面积。
从而让学生直观地看到了加减法算式之间的联系，接着追问，“如果按照这样的规律继续加下去，会怎样？”然后就引出“”，再引导学生通过观察、猜想、操作、验证等继续借助直观帮助学生理解1— 越来越接近1，感悟极限思想。
2．重视利用图形来分析题意，理清思路，提高解决问题的能力。
在本课的配套的练习中，题目中蕴含的信息量较大，直接让学生来读懂题意有一定的难度。因此在教学中，我们试图引导学生通过结合图形来分析题目意思，理清数量之间的关系，提高解决问题的能力。如：
练习中第5题的教学，就直接出示题目，先让学生自己自由读题，然后出示图形引导学生从“形”的角度来理解题意。在搜集题目中的关键信息来解释图形的过程中，培养学生利用图形来分析问题、解决问题的意识和能力。
3．精选学习材料，适度处理和拓展教材内容。
与例2配套的几道练习题，我们曾对两个班66人进行了前测，在教师不作任何提示。
的情况下，独立作业40分钟时间，结果如下：
之所以出现这样的情况，我们认为，是因为这些题目与例2的结构相差较大，题目信息量丰富，给学生审题带来较大的困难，所以我们就补充了一题与例2关联度和结构相匹配的题目“0.9+0.09+0.
009+…”作为补充练习，同时把以前学过的“乘法分配律公式”和以后要学的“完全平方公式”作为课的拓展延伸，让学生再次感受“数形结合”的思想。
教学过程预设：
一、教学例2
一）沟通分数加减法的联系。
1．谈话逐步板书：＋＋
这个算式的结果是多少？算算看。你是怎么想的？还有不同的想法吗？引出1-。
2．借助图形感受加法与减法的联系。
师：这个算式在图中表示什什么？（要求的结果就是涂色部分的面积）
1”和“”在图中表示什么？
要求涂色部分的面积就是：1-=。
二）渗透极限思想。
如果不停地加下去，课件呈现：
1．猜一猜“和”是多少？（预设1—；1—；）
2．请用“形”来解释这个结果。
学生操作。展示。
3．反馈：（看大屏幕）
减去的是什么呢？（剩下的空白部分。）
如果不停地加下去，空白部分会怎么样？（理解无穷小。）
那的结果怎么样？（无限接近1。）三）练习。
结果是多少？能用“形”来解释这个结果吗？
小结：数与形的联系非常的紧密！其实生活中我们有很多问题通过画图来解决会更直观！
二、教学“运行图”
小兰和爸爸、妈妈一起步行到离家800 m远的公园健身中心，用时20分钟。妈妈到了健身中心后直接返回家里，还是用了20分钟。小兰和爸爸一起在健身中心锻炼了10分钟。
然后，小兰跑步回到家中，用了5分钟，而爸爸是走回家中，用了15分钟。
下面几个图哪个是妈妈离家的时间和离家距离的关系？哪个是描述爸爸的？哪个是描述小兰的？
一）读题。看懂了吗？题目主要讲了一个什么事情？
二）课件呈现一张图：你觉得这幅图表示的是谁走的？（妈妈）
追问：为什么？
三）课件呈现其余两张。你觉得哪个是小兰，哪个是爸爸？
小结：有时候图可以帮助我们直观地解决问题，有时候也能帮助我们分析问题，理清题目意思。
三、拓展与延伸。
一）想一想：为什么“a×b+a×c=a×(b+c)”？请画图来解释。
1．同桌交流。
2．独立完成，反馈。
二）如下图，正方形的边长是a，如果边长增加b，使它变成一个更大的正方形，现在面积是多少？
四、课堂总结。
今天这节课我们主要学习了什么？你有什么收获？
课后反思：补充数学广角。
——鸡兔同笼。
教学内容：
教材第七单元《数学广角》。
教学目标：
1、了解“鸡兔同笼”问题，尝试用列举法和假设法解决“鸡兔同笼”问题。
2、在解决问题的过程中培养学生的逻辑推理能力，初步理解假设法。
3、感受古代数学问题的趣味性，受到祖国优秀数学文化的熏陶和感染。
教学重点：
用假设法解决“鸡兔同笼”问题。
教学难点：
假设法的理解。
教学过程：一、创设情境，提出问题。
师：我国是一个数学大国，从古至今，产生了许多数学名著和数学趣题。我们先来看一个短片介绍。
多**出示：在我国古代，流传着许多有趣的数学问题，如“韩信点兵”、“三女归家”、“求碗问题”、“三阶幻方”等，这些问题，有的成为经典，有的为世界数学的发展起到了巨大的贡献。“鸡兔同笼”就是其中之一。
早在2024年前，数学名著《孙子算经》中就记载了“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”）
师：谁能试着解释一下这道题的意思？（学生解释）对，正如你所说的，这道题的意思就是：
出示：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？）
师：有不少的同学在兴趣小组或课外阅读中接触过这类问题，这节课我们继续来研究它。
板书课题：鸡兔同笼）
二、解决问题，**新知。
（一）明确方法。
师：这道题中的数据比较大，我们可以把数据改小，先从简单的问题入手。把35个头改为8个头，把94只脚改为26只脚。
出示例1：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？）
师：请大家默读题目，思考一下：从上面数，有8个头是什么意思？从下面数，有26只脚又表示什么？
师：解决这道题都有哪些方法呢？小组内讨论一下。
学生可能出现的方法有：a.画图法；b.列表法；c.假设法；d.方程解法……教师板书这些方法）
二）**方法。
1．画图法。
师：对于画图法，需要完整地画出鸡头、兔脚吗？可以怎样做？（用○表示头，用︱表示脚）
2、列举法。
师：在**中我们可以找到答案（有3只鸡，5只兔）。请你仔细观察**，从中你能发现什么吗？
学生可能回答：
1） 鸡和兔的总只数没有变化，都是8只；
2） 从左往右看，鸡每减少一只，兔就增加一只，总脚数增加两只；
3） 从右往左看，鸡每增加一只，兔就减少一只，总脚数减少两只。
教师引导学生发现并说出以上规律，明确增加兔与减少兔对于总脚数的影响。
师：看来采用这种列表的方法将所有可能的结果都列举出来，是可以找到答案的。你能用这两种方法解决刚才的“鸡兔同笼”问题吗？
（再次出示：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。
鸡和兔各有几只？）
学生回答，说明自己的感受和想法。
3、假设法。
师：我们来大胆猜测一下这道题的结果吧。老师先猜一个，鸡16只，兔19只，谁也愿意来猜一猜？
（相机板书：鸡16只兔19只；鸡30只，兔5只）
师：老师猜对了吗？怎样来验证？（列式：16×2＋19×4=108） 算出来是108只脚，脚多了说明了什么？
如果要你们在这个基础上接着猜，你们会怎样猜呢？ （指2—3名学生回答）为什么你们都减少兔增加鸡呢？
学生回答后，小结：因为一只兔比一只鸡多两只脚，所以脚多了的时候应该减少兔增加鸡。教师引导学生朝着这个方向再猜，（如：
鸡20只，兔15只。列式：20×2＋15×4=100）脚还是多了，还要减少兔增加鸡。
师：看来，只要找对了方向，像这样继续猜下去，我们也可以找到答案。接下来请大家象刚才这样验证第二组，如果不对，请试着进行调整并找到答案，数一数，你做了几次调整。
学生活动，教师巡视，参与讨论并及时给予辅导）
指名学生展示自己的猜测过程，教师引导其他学生及时作出评议。
师：刚才老师发现有的同学调整了5次找到答案，有的同学只调整了2次就找出答案了。想一想，能一次就调整出答案吗？
学生回答，教师引导学生进一步明确增加a只兔，就减少a只鸡，相应的就增加2a只脚；反之，增加a只鸡，就减少a只兔，相应的就减少2a只脚；）
师：多么有智慧的调整啊！这个调整的过程怎样用算式表示呢？
学生思考后，让学生上台板演： 鸡30只，兔5只。
30×2＋5×4=80（只）
94－80=14（只）
14÷（4-2）=7（只）
30－7=23（只）……鸡。
5＋7=12（只）……兔。
学生列式后，引导其他学生评议并提出问题，明确“4-2”表示什么，求出的“7”又表示什么？教师再将前面的“鸡30只，兔5只”改为“假设鸡有30只，兔有5只”
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