四年级奥数专题四（巧妙求和一）
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专题讲解【巧妙求和（一）】
一、【知识要点】
若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1
二、【典型例题讲解】
例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？
思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。
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练习1：1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？
3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？
例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……这个等差数列的第100项是多少？
思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399.
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练习2：1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？
2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。
3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。
例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。
思路导航】如果我们把1.2.3.
4，…，99，100与列100，99，…，3.2.1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101.
一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。
上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：
等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式。
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练习3：计算下面各题。（1）1+2+3+…+49+50
例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
思路导航】这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：项数=（末项－首项）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25
首项=2.末项=50，项数=25
等差数列的和=（2+50）×25÷2=650.
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练习4：计算下面各题。（1）2+6+10+14+18+22
例题5】计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）
思路导航】容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。
进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1～100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有50个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到50个差，再求出所有差的和。
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练习5：用简便方法计算下面各题。
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