【导言】我们学习的除法算式有两种情况，一种是被除数除以除数以后，余数为0，即数的整除性；另一种是被除数除以除数以后，余数不为0，即有余数的除法。一个有余数的除法包括四个数：被除数÷除数=商……余数。
这个关系也可以表示为：被除数=除数×商+余数。下面来总结一下整除和有余数除法的特征：
整除：1. 能被2整除的特征：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。
2. 能被3整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。
3. 能被4（或25）整除的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数能被4（或25）整除。
4. 能被5整除的特征：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。
5. 能被8（或125）整除的特征：如果一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数能被8（或125）整除。
6. 能被9整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除。
7. 能被11整除的特征：如果一个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。
有余数的除法：
1. 一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。
2. 一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。
3. 一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。
4. 一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差除以11的余数相同。（如果奇位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，可用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得的余数与11的差即为所求）。
经典例题1】已知一个6位数14a52b能被5和9整除，求这个6位数。
解题步骤】能被5整除的数的末位是0或5，能被9整除的末位是各位上的数字之和能被9整除，即1+4+a+5+2+b能被9整除。当b=0时，a取6；当b=5时，a取1。所以这个6位数是141525或146520
巩固练习】1.已知一个五位数是a1a72能被12整除，求这个五位数。
答案】由于12=3×4，且3和4是互质的，所以能被12整除的数也就是说即能被3整除又能被4整除。当a1a72能被3整除时，则有a+1+a+7+2=10+2a能被3整除，a可以取1和4,；因为这个5位数的末两位是72，能被4整除，所以该数可以被4整除。所以这个5位数是11172或41472。
2.如果一个6位数13a57b能同时被整除，求这个6位数。
答案】132570或135570或138570
3.有一个四位整数16ab如果要让这个四位数同时能被整除，那么这个四位数的末两位上应是什么数？【答案】20或80
经典例题2】要使六位数18abc6能被36整除，而且所得的商最小，这个六位数是多少？
发散思维】由于18abc6能被36整除，36=4×9，且4和9互质，所以这个6位数既能被4整除又能被9整除。再考虑“所得的商最小”这个条件，应首先是a尽量小，其次是b尽量小，最后是c尽量小。
解题步骤】18abc6能被4整除，则c6能被4整除，因此c可能取。18abc6能被4整除，则1+8+a+b+c+6=15+a+b+c能被9整除。要使所得的商最小，就要使18abc6尽可能小，即abc尽可能小，因此首先a尽可能小，其次b,最后c尽可能小。
先试取a=0，此六位数之和为15+b+c,欲使b+c尽可能小，而且15+b+c能被9整除，则（b+c）取3，因为b+c=3，且c只能取。则c=3,b=0.
当a=0,b=0,c=3时，此六位数能被36整除，而且所得的商最小，为180036÷36=5001。
巩固练习】1.在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被整除，且使这个数值尽可能得小。
答案：这个六位数是865020。
2.一个三位数减去它的各位数字之和，其差还是一个三位数73a,求a是几？
答案：设这个三位数为100a+10b+c,根据题意有100a+10b+c-(a+b+c)=99a+9b=(11a+b) ×9=73a,这就说明73a一定是9的倍数，所以a取8。
3.用这五个数中的四个数字，可以组成许多能被11整除的四位数，其中最小的一个四位数是多少？
答案：能组成14个，最小的是1375。
经典例题3】有一个自然数，用它去除和143这三个数得到的三个余数之和是29，求这个自然数。
发散思维】如果设这个数为x,则根据带余除式可以得到下面三个等式：70=xq1+r1,98=xq2+r2,143=xq3+r3,将这三个等式相加就可以利用余数之和为29这个条件了。
解题步骤】将上面三个等式相加可以得到。
70+98+143=x(q1+q2+q3)+r1+r2+r3,化简得 311=xq+29,其中的字母q是上面三个商的和，它是一个整数。上面这个等式还可以写成xq=311-29,即xq=282,从这个等式发现x是282的因数列出282的所有因数为，这8个因数中哪个可以成为x的取值？逐一试验可以发现x=47.
巩固练习】1.有一个自然数，分别去除、所得的余数都不为0，且这三个余数之和是22，求这个自然数。
答案：如果把三个数之和减去三个余数之和22，剩下的数必然是所求数的整数倍。25+38+43=84，84=21×4，即84是4的21倍。
若所求之数为4，那么：25=4×6+1,38=4×9+2,43=4×10+3，而1+2+3！=22，。
若所求之数为21，那么：25=21×1+4,38=21×1+17,43=21×2+1,4+17+1=21。所以这个自然数为21。
2.有一个自然数去除都有余数，且余数之和为25，求这个自然数。
答案：这个自然数是43。
3.用一个整数去除454和456，所得的余数都是17。求这个自然数。
答案：23或46或92。
经典例题4】被除数除以除数，商是12，余数是26，被除数、除数、商、余数四个数的和是454，求除数是多少。
发散思维】被除数与除数的和是454-12-26=416。又因为商是12，余数是26，表示被除数比除数的12倍还多26，还要再减去26，所以除数是（416-26）÷（12+1）=30。
解题步骤】（454-12-26-26）÷（12+1）=30。
巩固练习】1.两数相除，商是19，余数是4，被除数与除数的差为652，求被除数。
答案：688
2.被除数除以除数，商是18，余数是62，被除数、除数、商及余数的和是1529，求被除数是多少。
答案：1376
3.887除以一个数，商是52，且除数比余数大14，求除数和余数各是多少。
答案：除数是17，余数是3。
经典例题5】求111…1除以7的余数是多少。
︸2002个。
发散思维】我们用竖式除，观察商的规律，发现111111÷7=15873，即每6个1组成的多位数能被7整除。2002个1中有几个6个1，看余几个1，再由此确定余数。
解题步骤】2002÷6=333……4,1111÷7=158……5，所以111…1除以7的余数是5。 ︸2002个。
巩固练习】1、求444…4÷9后余几。
2003个。
答案：2003÷9=222……5,44444÷9=4938……2。
经典例题6】已知2024年的1月1日是星期二，那么2024年的12月5日是星期几？
发散思维】因为星期是按规律重复出现的现象，每7天重复一次，所以要知道2024年的12月5日是星期几，就必须知道从1月1日到12月5日之间有多少天。
解题步骤】2002不能被4能除为平年，所以2月28天都是31天都是30天。28+31×6+30×5=339（天），所以339÷7=48……3。即339天中有48个星期零3 天，这三天是从星期二起的3天，所以2024年的12月5日是星期四。
巩固练习】1.今天是星期三，从今日算起，第100天是星期几？
答案：100÷7=14……2，今天是星期三，从今天算起，第100天是星期四。
2.2024年的元旦是星期五，请你算一算，2024年的元旦是星期几？2024年的元旦是星期几？
答案：2024年的元旦是星期三，200年额元旦是星期六。
3.某年的10月有5个星期六，4个星期日，这一年的十月一日是星期几？
答案：星期四。
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