第5讲巧添运算符号。
巧点晴——方法和技巧。
解决问题的常用方法：①计算、试验、合理地组合；②从后面开始思考的逆推法。
注意事项：1)添运算符号的题目一般来讲解法都不是唯一的，如果题中没有特别的要求，则添出一种答案就算正确；
(2)添运算符号不仅可以在两个数字之间添，也可以将相邻的几个数字看成一个数，再在这个数与其相邻的数之间添。
巧指导——例题精讲。
a级冲刺名校·基础点晴。
一、巧用递推法。
例1】用下列各组数“凑24”。
分析与解每一题给出一种算法如下：
小结你能否找到其他的算法？比一比谁算得快，谁算得巧。
做一做1 把下列每组中的四个数凑成24。
例2】添上等符号，使算式1 2 3 4 5=1成立。
分析与解我们可以用逆推法，从最后一步想起。1 2 3 4 □ 5=1，这里的□只能添减号或除号。
1）如果是除号，1 2 3 □ 4，应等于5，这里的□可以添加号、减号、除号。
如果是加号，1 2 3 应产生1，即：
如果是减号，1 2 3 应产生9，即：
如果是除号，1 2 3应产生20，这是不可能的。
2）如果是减号，1 2 3□4应等于6，这里的□可以添加号、减号或除号。
如果是加号，1 2 3 应产生2，不可能；
如果是减号，1 2 3 应产生10，不可能；
如果是除号，1 2 3 应产生24，即：
小结此题用逆推法，解题效果相当好。
做一做2 添上等符号，使下列等式成立。
【例3】在下面的式里加上括号，使等式成立。
分析与解括号用来表示四则运算中需要先算的部分，而在四则运算中，规定“先乘除后加减”。所以添括号时，应着重在含有加减运算符号的各数之间考虑。
1）用逆推的方法，从最后一步考虑起。最后一步是减2，所以前面的式子6×9＋15÷3应等于23.23×3=69，而6×9＋15=69，所以算式为。
2）上一小题中已得出一个69，保留它，使后面被除数等于1，于是就有。
3）请同学自己分析。
4）先用逆推的方法试试，但6×9＋15÷3=59，即使添括号也无法成立，因此必须换一种思路。再从前往后推算，因为6×[（9＋15）÷3－2]=36
小结此题目逆推法求解，方法新颖、巧妙。
做一做3 在下面的算式中合适的地方，添上一个括号，使等式成立。
b级竞赛培优·更上层楼。
二、合理尝试。
例4】在1 2 3 4 5 6 7 8 9的某些数字之间添上加号或减号，使计算结果等于100。
分析与解1 如果式子中有一个两位数89，那么其他的数字应能产生11，尝试可知：
根据以上分析，得。
分析与解2 如果式子中有一个两位数78，那么其他的数应能产生22。这时必须加9而不能减99（1＋2＋3＋4＋5＋6=21＜22），所以前6个数字应当产生13。由于21－13=8，所以应将1＋2＋3＋4＋5＋6中的加4改为减4，即1＋2＋3－4＋5＋6=13，所以。
做一做4 在1 2 3 4 5 6 7 8 9的某些数字之间填上加号或减号，使计算结果等于100。（给出两种以上的填法，且与例4添法不同）
例5】把0，1，3，5，6，8，9这七个数字填在圆圈和方框内，每个数只能出现一次，组成一个整数算式。
分析与解题中要求用七个数字组成五个数，根据算式可知，这五个数有三个数是一位数，有两个数是两位数，显然积、商和被除数是两位数，因数和除数是一位数。
0和1不宜作因数和除数，否则不是不符合算理，就是有数字重复出现。
方框内的数最大不超过33（98÷3＜33）。
由于3×5=15（5出现两次），3×8=24，3×9=27（2，4和7这三个数字条件中没有），5×6=30（经试验不行），因此乘法算式中两个因数只能是3和6，3×6=18，剩下三个数字0，5，9，90÷5=18符合题意，于是得到。
做一做5 （1）将1~9分别填入下面的圆圈内，使等式成立。
2）把数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填在下列各方框内（每一个方框内只填一个数字，每个数字只用一次），使用等式成立。
例6】把＋、－四种运算符号填在圆圈中，不许重复，并在方框中填上适当的整数，使下面的两个等式都成立。这时方框中的数是多少？
分析与解此题要考虑两个等式都成立。因此，我们在解题时应当用尝试法进行分析。除号必须用在14÷2中（否则不能整除）。
第一个式子里必须用乘号（因为9，13，7都比100小得多）。通过尝试可知：第一个式子里必须为9+3×17=100，第二个式子为14÷2－5=2。
这时，方框中的数是2。
做一做6 将＋、－四种运算符号分别填入下面各式的方框内，不许重复，使两个等式成立。
c级（选学）决胜总决赛·勇夺冠军。
三、逐步调整。
例7】在下面13个4之间添上适当的运算符号＋、－使等式成立。
分析与解由于左边数字比较多，如果还采用逆推法，会使原本复杂的问题变得更为复杂了，我们不妨改变一下思路。
我们可以任意用几个数字组成个数，经过试算得到一个与已知数1991比较接近的数，如：
因为1999比1991大8，大则减，很容易得到本题的一个解。
又如：因为1980比1991小11，小则加，这样又得了本题的另一个解。
或44×44＋44＋44÷4＋4－4＋4－4=1991
上面的分析方法是找一个与结果接近的数，然后根据大则减、小则加的原则作适当的调整。直到等式成立，这种方法可以称之为逐步调整法。
小结逐步调整法也是一种分析问题的方法，何时利用这种方法解决问题呢？遇到复杂的问题，若不能一下子找到答案，这时，我们可以先在满足部分条件的基础上寻找答案，然后再从问题筛选出满足其他条件的答案。
做一做7 下列等号左边有12个2，在适当的地方添上＋、－或（ ）使等式成立。
巧练习——温故知新（五）
a级冲刺名校·基础点晴。
1.添上＋、－或（ ）使下列等式成立。
2.在下列数字之间添上运算符号和括号，使等式成立。
3.在下面式子中加上括号，使每个等式都成立。
4.将下列每级中4个数，通过四则运算（允许添加括号）组成一个算式，使结果都等于24。如：用2，3，6，9组成（2＋6）×9÷3=24或（6－2）×（9－3）=24。
5.在下面的方框中分别填入＋、－四各运算符号（各一次），使等式成立。
b级培优竞赛·更上层楼。
6.在下列数字之间添上一些运算符号，使结果都等于51。
7.把1~9这9个数字填入方框中，使等式成立。
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