一次函数总结。
本章的内容包括函数的一般概念和一次函数的图象与性质，有关函数的知识是初中数学的重要内容之一，在中学阶段，有关函数知识的学习是从初二下学期开始的，它贯穿始终，逐步深入，广泛溶于各个数学知识中的主干内容。
一、本章的重点、难点和关键。
重点：理解一次函数的概念，图象与性质以及一次函数的应用。
难点：函数概念的建立和一次函数的应用。
关键：建立正确的函数观念，熟悉一次函数的性质；会利用图象分析问题。
二、基础知识要点。
一）函数。1．函数的概念：一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，我们就把x称为自变量，y称为因变量，y是x的函数。
2．定义域：一般地说，一个函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域。
3．函数值：对于自变量在其定义域内的一个确定的值x=a，函数都有唯一确定的对应值，这个对应值叫做当x=a时的函数值。
4．函数的表示法：（1）解析法 （2）列表法 （3）图象法。
二）一次函数。
1．定义：若两个变量x、y间的关系式可以表示成y=kx+b（k,b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。
2．图象：一次函数y=kx+b的图象是经过点（0, b）且平行于直线y=kx的一条直线，b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距。
3．性质：①当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。②当k>0时，图象过。
一、三象限；当k<0，图象过。
二、四象限。③当b>0时，图象过。
一、二象限；当b<0时，图象过。
三、四象限。
4．正比例函数：①定义：函数y=kx（k是常数，k≠0），叫正比例函数。
②图象：正比例函数y=kx的图象经过原点和（1，k）两点的一条直线。③性质：
当k>0时，它的图象在第。
一、三象限内，y随x的增大而增大；当k<0时，它的图象在第。
二、四象限内，y随x的增大而减小。
注意的问题：
1．函数图象的定义：把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。
2．正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是过（0，0），（1，k）两点的一条直线，因此，依据一个独立条件可确定k，即可求出正比例函数。
3．一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是过（0,b），两点的一条直线，因此依据两个独立条件可确定k，b即可求出一次函数。
三、学习方法指导。
1．培养数形结合的思想方法，提高数形结合的能力。
数形结合的思想方法就是把数量关系与图形结合起来进行思考分析的方法，它可以使抽象、复杂的问题变得直观、简单、明了。
2．转化的思想方法。
把求函数值的问题转化为求代数式的值的问题，把求函数关系的问题转化为列代数式的问题，把实际问题转化为函数模型问题，从而利用函数的概念及性质解决实际问题。
3．函数与方程的思想是本章的特点之一。
函数的概念和图象
一、内容综述：
1．函数的有关概念：
一般地，设在某变化过程中有两个变量x，y。如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。
对于函数的意义，应从以下几个方面去理解：
（1）我们是在某一变化过程中研究两个变量的函数关系，在不同研究过程中，变量与常量是可以相互转换的，即常量和变量是对某一过程来说的，是相对的。
（2）对于变量x允许取的每一个值，合在一起组成了x的取值范围。（3）变量x与y有确定的对应关系，即对于x允许取的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应。
2．求函数自变量的取值范围
求函数自变量的取值范围的原则是：
（1）解析式是整式，自变量可以取一切实数。
（2）解析式是分式，自变量的取值应使分母不等于零。
（3）解析式是无理式，如果是二次根式，自变量的取值范围应使被开方式的值大于或等于零，如果是三次根式，自变量可以取一切实数。
（4）如果解析式是以上几种形式综合而成的，自变量的取值范围同时满足它们各自的条件。
3．函数值
与函数值有关的问题可以转化为求代数式的值。
4．函数的图象
在直角坐标系内用描点法可以画出函数的图象，函数图象实现了数与形的相互转化。
一次函数的图象和性质
一、知识要点：
1、一次函数：形如y=kx+b (k≠0, k, b为常数)的函数。
注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的次数不为1；
（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。
2、图象：一次函数的图象是一条直线，
（1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（-，0）
（2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。
3、性质：
（1）图象的位置：
2）增减性
k>0时，y随x增大而增大
k<0时，y随x增大而减小
4．求一次函数解析式的方法
求函数解析式的方法主要有三种：
一是由已知函数推导或推证
二是由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。
三是用待定系数法求函数解析式。
“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：
（1）利用一次函数的定义
构造方程组。
（2）利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标（如例6），即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向（如例3）
（3）利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程（如例4、例5）。
（4）利用题目已知条件直接构造方程（如例6）
二、例题举例：
例1．已知y=，其中=(k≠0的常数)，与成正比例，求证y与x也成正比例。
证明：∵ 与成正比例，
设=a(a≠0的常数),
∵ y=, k≠0的常数),
∴ y=·a=akx，
其中ak≠0的常数，
∴ y与x也成正比例。
例2．已知一次函数=(n-2)x+-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1，判断=(3-)是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。
解：依题意，得
解得 n=-1，
∴ =3x-1,
=(3-)x, 是正比例函数；
=-3x-1的图象经过第。
二、三、四象限，随x的增大而减小；
=(3-)x的图象经过第。
一、三象限，随x的增大而增大。
说明：由于一次函数的解析式含有待定系数n，故求解析式的关键是构造关于n的方程，此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与y轴交点纵坐标”来构造方程。
例3．直线y=kx+b与直线y=5-4x平行，且与直线y=-3(x-6)相交，交点在y轴上，求此直线解析式。
分析：直线y=kx+b的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定与y轴的交点，若两直线平行，则解析式的一次项系数k相等。例 y=2x,y=2x+3的图象平行。
解：∵ y=kx+b与y=5-4x平行，
∴ k=-4,
∵ y=kx+b与y=-3(x-6)=-3x+18相交于y轴，
∴ b=18，
∴ y=-4x+18。
说明：一次函数y=kx+b图象的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定点，即函数图象平行于直线y=kx，经过(0, b)点，反之亦成立，即由函数图象方向定k，由与y轴交点定b。
例4．直线与x轴交于点a（-4，0），与y轴交于点b，若点b到x轴的距离为2，求直线的解析式。
解：∵ 点b到x轴的距离为2，
∴ 点b的坐标为（0，±2），
设直线的解析式为y=kx±2,
∵ 直线过点a（-4，0），
∴ 0=-4k±2,
解得：k=±,
∴ 直线ab的解析式为y=x+2或y=-x-2.
说明：此例看起来很简单，但实际上隐含了很多推理过程，而这些推理是求一次函数解析式必备的。
（1）图象是直线的函数是一次函数；
（2）直线与y轴交于b点，则点b（0，）；
（3）点b到x轴距离为2，则||=2；
（4）点b的纵坐标等于直线解析式的常数项，即b=；
（5）已知直线与y轴交点的纵坐标，可设y=kx+，
下面只需待定k即可。
例5．已知一次函数的图象，交x轴于a（-6，0），交正比例函数的图象于点b，且点b在第三象限，它的横坐标为-2，△aob的面积为6平方单位，求正比例函数和一次函数的解析式。
分析：自画草图如下：
解：设正比例函数y=kx，
一次函数y=ax+b，
∵ 点b在第三象限，横坐标为-2，
设b（-2，），其中<0，
∴ ao·||6，
把点b（-2，-2）代入正比例函数y=kx，得k=1
把点a（-6，0）、b（-2，-2）代入y=ax+b，
得 解得 ：
∴ y=x, y=-x-3即所求。
说明：（1）此例需要利用正比例函数、一次函数定义写出含待定系数的结构式，注意两个函数中的系数要用不同字母表示；
（2）此例需要把条件（面积）转化为点b的坐标。这个转化实质含有两步：一是利用面积公式ao·bd=6（过点b作bd⊥ao于d）计算出线段长bd=2，再利用||=bd及点b在第三象限计算出=-2。
若去掉第三象限的条件，想一想点b的位置有几种可能，结果会有什么变化？（答：有两种可能，点b可能在第二象限
（-2，2），结果增加一组y=-x, y=(x+3).
例6．已知正比例函数y=kx (k<0)图象上的一点与原点的距离等于13，过这点向x轴作垂线，这点到垂足间的线段和x轴及该图象围成的图形的面积等于30，求这个正比例函数的解析式。
分析：画草图如下：则oa=13，=30，
则列方程求出点a的坐标即可。
解法1：设图象上一点a（x, y）满足
解得：；；代入y=kx (k<0)得k=-,k=-.
∴ y=-x或y=-x。
解法2：设图象上一点a（a, ka）满足
由（2）得=-,
代入（1），得(1+)·
整理，得60+169k+60=0.
解得 k=-或k=-.
∴ y=-x或y=-x.
说明：由于题目已经给定含有待定系数的结构式y=kx，其中k为待定系数，故解此例的关键是构造关于k的方程。此例给出的两个解法代表两种不同的思路：
解法1是把已知条件先转化为求函数图象上一点的坐标，构造方程解出，再求k；解法2是引进辅助未知数a，利用勾股定理、三角形面积公式直接构造关于a、k的方程组，解题时消去a，求出k值。
例7．在直角坐标系x0y中，一次函数y=x+的图象与x轴，y轴，分别交于a、b两点，点c坐标为（1，0），点d在x轴上，且∠bcd=∠abd，求图象经过b、d两点的一次函数的解析式。
分析：由已知可得a点坐标（-3，0），b点坐标（0，），点c是确定的点（1，0），解题的关键是确定点d的坐标，由点d在x轴上，以∠bcd=∠abd的条件，结合画草图可知∠bcd的边bc确定，顶点c确定，但边cd可以有两个方向，即点d可以在c点右侧，也可以在c点左侧，因此解此题要分类讨论。
解：∵ 点a、b分别是直线y=x+与x轴和y轴交点，
∴ a（-3，0），b（0，），
∵ 点c坐标（1，0）由勾股定理得bc=，ab=，
设点d的坐标为（x, 0），
（1）当点d在c点右侧，即x>1时，
∵ ∠bcd=∠abd，
∠bdc=∠adb，
∴ △bcd∽△abd，
∴ 8-22x+5=0
∴ x1=, x2=,
经检验：x1=, x2=,都是方程①的根。
∵ x=,不合题意，∴ 舍去。∴ x=，
∴ d点坐标为（, 0）。
设图象过b、d两点的一次函数解析式为y=kx+b，
∴ 所求一次函数为y=-x+。
（2）若点d在点c左侧则x<1，
可证△abc∽△adb，
∴ 8-18x-5=0
∴ x1=-,x2=,
经检验x1=-,x2=,都是方程②的根。
∵ x2=不合题意舍去，∴ x1=-,
∴ d点坐标为（-,0），
∴ 图象过b、d（-,0）两点的一次函数解析式为y=4x+，
综上所述，满足题意的一次函数为y=-x+或y=4x+.
四、例题。例1． 若正比例函数，y随x的增大而减小，则m的值为___
分析：依据正比例函数定义知，x的指数项为1，得关于m的一元二次方程，但需注意m-1<0这一限制条件。
解：∵是正比例函数 ∴m2-3=1解设m=±2
又∵y随x增大而减小，∴m-1<0 即m<1，所以m=-2 故本题答案为-2。
例2．下列图形中，表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx(m, n是常数且mn≠0)图象是下图中的（ ）
分析：对于两个不同函数图象共存同一坐标系的问题，常假设某一图象正确，而后根据字母系数所表示的实际意义而判定另一图象是否正确来解决问题。例如，假设选项b中的直线y=mx+n正确，则m<0, n>0, mn<0，则正比例函数y=mnx应过第。
二、四象限，而实际图象则过第。
一、三象限，所以选项b错误，同理，可得a正确。故本题答案为a。
例3．已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-2, 5)，并且与y轴相交于点p，直线与y轴交于点q，点q与点p恰好关于x轴对称，求这个一次函数的解析式。
分析：由p与q关于x轴对称，可求p点坐标，由p点及(-2, 5)两个点恰好可求待定函数k, b的值。
解：∵y=kx+b的图象过点(-2, 5) ∴2k+b=5
又∵p点坐标是(0, b), 点q坐标是(0, 3) ∴b=-3
把b=-3代入-2k+b=5中得k=-4
该一次函数解析式为y=-4x-3
例4．某工厂研制一种新产品投放市场，根据市场调查的信息得到产品的日销售量y(万件)，与销售时间x(天)的关系如图所示，根据图象回答下列问题：
1）分析y（万件）与x（天）的函数关系。
2）已知销售一件产品获利润0.8元，求在该产品销售量不变期间的利润有多少万元？
分析：根据所给图象及函数的增减值，本题要分三种情况进行讨论。
解：（1）观察图象可知，当0≤x≤90时，设y=k1x，代入(90, 5)得 90k1=5 解得k1=，∴y=x（0≤x≤90）
当90当720即。
3）日利润为50000×0.8=40000，即4万元 4×(720-90)=2520(万元)
答：在销售量不变期间的利润有2520万元。
五、练习。一、填空题。
1．写出一个y随x的增大而减小的正比例函数的表达式。
2．如果点p(2, k)在直线y=2x+2上，那么点p到x轴的距离为。
3．在函数y=-2x+3中，当自变量x满足___时，图象在第一象限。
4．已知一次函数y=kx+b的图象经过点(1, 3), 2, -3)，则这个一次函数的解析式为。
5．如图，弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间是一次函数关系，则该弹簧不挂物体时的长度为___cm。
6．函数的定义域是。
二、选择题。
1．已知一次函数y=kx+b的图象（如图），当x<0时，y的取值范围是（ ）
0 b. y<0 c. –22．下列函数中，正比例函数是（ ）
a. y=-8xb. y=-8x+1 c. y=8x2+1d.
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