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让学生在选择与评价数据中理性决策——《中位数与众数》教学设计。
课题：人教版八年级下20．1．2中位数和众数。
理解教材：平均数、中位数、众数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，是刻画其“平均水平”的三个数据代表，因分析的角度与评判的需要不同，一般选择不同的特征数，但平均数的应用最广泛，也最常用．在学生认知结构中，多是单一地用算术平均数理解一组数据的平均水平，这在他们的生活经验里习以为常．对于本单元的内容呈现，教材从学生熟悉的现实生活背景中重新表述平均数、加权平均数的概念，在此基础上，设置一个或几个有争议的话题，引起学生对描述“平均水平”的认知冲突，创造引入新知识的情境，从而引入中位数与众数的概念，让学生从不同的角度认识平均，体会集中趋势．
本节课“中位数与众数”，内容相对单一，概念识别与计算也不复杂，教材为了知识间的前后联系，一是编排例题、习题时，有意识地用图表信息（**、条形统计图、扇形统计图）呈现数据；二是描述“平均水平”的三个特征量同时出现，借以突出他们的意义与区别，能让学生体会三者在不同情境中的意义与不同．
教学目标：1．掌握中位数、众数的概念，能根据问题提供的信息读出数据，求出中位数和众数．
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2．能结合具体情境体会平均数、中位数和众数三者的联系与区别．会初步选择恰当的数据代表对数据从不同角度描述并作出自己的评判．
3．在大量真实的现实情境中丰富活动体验，增强对生活中图表信息进行数据处理和评判的主动意识，培养学生求真的科学态度．
教学重点：根据收集或提供的信息熟练求出一组数据的中位数和众数．
教学难点：1．位置：在具体情境中选择恰当的数据代表对数据做出自己的评判．
2．难点成因诊断：
现实情境提供的大多是原始数据或经过加工的统计图表信息，信息量大，呈现形式多样，在为学生评判数据提供充足的背景资料的同时，同时干扰或误导着他们对数据的读取与选用．这与获取平均数、中位数、众数不同，也与以前的代数运算、几何求证不同，那时题目本身有选择指向，所提供的数字都是有用的、必不可少的，结论也是唯一的、明确的．而这里对数据的评判，既与统计数据本身有关，也与学生的知识经验有关，不同的学生从不同的角度可以有不同的结论，这些思维经历对学生来说是陌生的、挑战性的，定势的负迁移影响学生的选择．再就是面对众多的信息，部分学生不习惯自己选择，不知道如何才恰当，犹豫不决，等待观望，不良的学习习惯也影响着本课题的学习．
3．破解对策：
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1）合作学习，引导学生充分讨论和广泛交流，在独立思考的基础上发表自己的观点，互提建议，在对比中选择最佳方案．
2）倡导思维多向，鼓励标新立异，不求完美统一，只要学生说的有一定道理，就不轻易否决，以消除疑虑，主动大胆进行评判．
教学过程：一、设置问题情境，引发认知冲突．
1．某公司员工的月工资如下：
副经理。职员a1700
职员b1300
职员c1200
职员d1100
职员f1100
杂工g500
员工月工资/元。
经理职员e1100
经理说：我公司员工收入高，月平均工资2000元；
职员c说“我的工资是1200元，在公司算中等收入；
职员d说：我们好几个人工资都是1100元．
如果你来应聘，怎么看待这个公司员工的收入？
2．小明妈妈的鞋店，在前一段时间内销售了30双女鞋，各尺码鞋的销售量如下表：
尺码（厘米）销售量（双）
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小明算出平均数为23.5厘米，就建议妈妈进货时尺码23.5厘米的鞋多进些．
1）你知道小明求平均数的方法吗？
2）你觉得妈妈会采纳他的建议吗？
设计意图：问题1：你怎么看待这个公司员工的收入？
经理的误导，加上学生原有知识经验的迁移，自然首先计算月平均工资，确实是2000元，这也是现实生活中比较各单位薪酬的流行的方法，学生熟悉且认可．这时教师不急于否定，也无需启发，而是提醒学生注意听听员工的呼声，再仔细读表，把你不同的见解说给同学听．明显的数字对比很快使“月平均工资2000元”受到非议，继而寻求新的评价尺度的愿望发自内心且愈加急迫．虽然他们的见解还不成熟甚至“一厢情愿”，但引入中位数、众数的火候已到．
问题2，小明无论直接计算各尺码的平均数，还是考虑到各尺码鞋的销售量计算加权平均数，都能得平均23.5厘米，但前者计算是没有价值的，不能支持；后者能把销售量的多少考虑进去，即延续了上节加权平均数对评判的影响，又综合利用各信息解决实际问题，可以鼓励．至于小明妈妈采纳他的建议，并不是依据平均数，因为从表中能看出，23.5厘米的鞋销售量最大，说明该尺码鞋的需求最大，适合的顾客群最多，应作为首选．这样的认知冲突是引发新知识生成的最好时机．
二、充分讨论交流，理解中位数与众数的概念．
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问题，与学生生活贴近，知识背景并不复杂，解决问题的渴望和原有经验的支撑，足以使思维活跃，课堂热烈．可分组学习，学生在学伴群体中畅所欲言，把自己的观点清晰而有条理的表达出来，同时认真听取别人的评价与见解，充分交流．教师巡回其中，参与讨论，适时点拨．因学生的生活阅历、知识结构以及价值观念的不同，他们的观点肯定不同，甚至有争议，教师不要强求一致，不要评价正误，只要言之有理就可以肯定．当然问题1还需要有指导性结论：公司正、副经理工资太高造成收入悬殊，表面看平均工资2000元，但员工收入偏低，分配不公，不宜去应聘．要注意把握学生交流、师生交流中的动态资源，随堂“二次备课”，简约新知识生成的过程．教师可在讨论的基础上讲授概念，学生阅读教材，理解记忆．
1．问题1中，9个员工中有3个人的工资是1100元，出现次数最多，称1100元为这组数据的众数．问题2中，销售的30双鞋中有11双23.5厘米的，出现的次数最多，称23.5厘米为这组数据的众数．
一组数据**现次数最多的数据称为这组数据的众数．
提醒学生：众数是一个样本**现次数最多的数据，是样本中的原始数据，而不是相应的次数；样本的众数有时不只一个．
2．问题1中，职员c的工资1200元，恰好位于所有员工工资的“正中间”（9个员工中，有4人工资比他高，4人工资比他低），我们称1200元为这组数据的中位数．问题2中，样本的30个数据从小到大排列起来，位于正中间的是。
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第15、第16两个数据，取其平均数：（23.5+23.5）÷2=23.5（厘米），称23.5厘米为这组数据的中位数．
将一组数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据或者中间两个数据的平均数，称为这组数据的中位数．
提醒学生：当样本中数据有奇数个时，中位数是这组数据中的一个数据；当数据有偶数个时，中位数不一定就是这组数据中的某个数据．
教学建议：新课程倡导动手实践、自主探索与合作交流的学习方式，但作为传统的教师讲授，有时还是必须的，高效益的，不能以偏概全，谈讲色变．定义的呈现可以让学生探求讨论参与，但定义的描述应科学、简洁而严密，在这里可以在学生“求善”的向往中讲述．新课程也反对“单纯地依赖模仿与记忆”，但不排除记忆．这里，中位数与众数的定义同时是计算的方法，因此，跟上阅读，在现实背景中强化记忆，也是必要的．
三、随堂练习，加深概念的理解．
1．某车间工人日加工零件数的情况如下：
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请写出这些工人日加工零件数的中位数、众数，并说明其意义。
用条形图呈现数据，关键是正确的读图，“翻译”成常态形式：4个3，5个4，8个5，9个6，6个7，4个8，共36个数据，变换成学生熟悉的条件，就迎刃而解了．
2．学校组织支援汶川抗震救灾献爱心活动，117名教师全部捐了款，具体情况如下表：
捐款数（元）捐款人数。
求捐款的平均数、中位数和众数．
问题比较简单，只要读懂题意，仔细计算就能完成．这里，教师不必将学生精力耗费于繁杂的计算，可以让学生使用计算器．
四、学以致用，指导学生合理决策．
1．某厂家研制a、b、c三种环保电池，各取10节进行使用寿命的跟踪调查，结果如下（单位：月）
a：4，5，5，6，6，7，7，7，7，9．
b：3，4，4，4，5，7，10，10，10，13．
c：3，5，5，5，7，7，8，8，9，11．
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该厂家做广告时，声称三种电池使用寿命都是7个月．请用学到的知识识别广告是否全为真实？若真实，依据什么？你如果需要，想选购哪种电池？
解：经计算能知以下数据：
电池类型。abc
平均寿命（月）6．376．8
中位数（月）6．567
众数（月）74，105
可以看出，广告称三种电池使用寿命都是7个月，分别选取a的众数，b的平均数，c的中位数，他们都是描述数据平均水平（集中趋势）的特征量，因而都是真实的．
对于如何选购，学生会有不同的意向与理由，事实上因生活经验和选择角度不同，也不可能一致，只要学生说明条理，有理有据，就可以肯定．学生能体会平均数、中位数、众数在实际问题中的意义与区别就达到目的了．
2．教材例6．
教学建议：解题时整理成统计图、表呈现数据信息，集平均数、中位数、众数的选择决策于一身，重点考察三个描述平均水平的特征数的意义、计算及不同应用．特别是问题（2）、（3）具有较强的挑战性和综合性，需要利用它们各自的含义与特点作出分析、判断，体现了选择数据代表的重要性，是思维训练的好素材．
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在练习的基础上教师予以点拨：计算平均数时，所有数据都参与运算，它能充分地利用数据所提供的信息，因此在现实生活中较为常用，但它容易受极端数值的影响．如体操比赛，个别评委不公正打分将直接影响运动员的成绩，为此一般先去掉一个最高分和一个最低分，然后求其余得分的平均数作为运动员的得分．
中位数的优点是计算简单，受极端影响较小，但不能充分利用所有数据的信息．
一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往是人们尤为关心的一个量．例如鞋店的进货方案，往往依据近段销出某尺码鞋的众数来确定．
五、课堂小结．
引导学生沿着问题情境中平均数的局限——解题的窘迫——中位数与众数的“登场”过程，重温概念产生的经历，进一步理解三个描述数据“集中趋势”的特征量的含义．让学生总结出：描述一组数据的“集中趋势”，平均数是常用的量．当数据中有个别数据过高或过低时，应考虑中位数与众数．中位数与数据排列有关，个别数据的波动对中位数没任何影响．当某些数据多次重复出现时，可用众数来描述．
六、课堂练习．教材例4，练习题目．
七、作业．习题中20.1中“复习巩固”为课堂作业，“综合运用”为选做题，“拓广探索”为课下研究题．
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设计理念：1．新课程要求教学内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验、思考与探索．本课从创设问题情境，经历概念形成，体验“三量”意义到练习与习题，选用的学习素材都是现实的、有趣味的、富有挑战性的，学生在教师的引导下独立思考，自由表达，合作互助，师生之间、生生之间分享彼此的思考、经验与创见，关注彼此的困惑与成功，活动经验进一步丰富，情感体验充实，知识生成自然而流畅．
2．正确看待学生的认知水平，尊重学生的个性差异，就要为学生创造一个宽松自主的学习氛围，一个心理安全、思维开放的环境，引导学生主动地、富有个性地学习，允许另辟蹊径，允许标新立异，允许固执己见，这样激发并保持着学生积极的学习情绪，带着责任和义务学习，对培养学生思维品质和创新精神大有益处．
人教版初中数学八年级下册《中位数与众数》教学设计
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