八年级数学科辅导讲义（第讲）
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第一部分基础知识梳理。
详解点一 、分式方程的概念。
分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
分式方程的重要特征是：①含分母；②分母里含未知数。
分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数。例如： ；是分式方程；是整式方程，不是分式方程。
详解点二 、分式方程的解法。
1、解分式方程的思想和方法。
2、解分式方程的一般步骤：
1）去分母，在分式方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；
2）解这个整式方程，得出整式方程的根；
3）验根，把整式方程的根代入最简公分母（或原方程）检验，看结果是不是零，使最简分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。
4）写出分式方程的根。
详解点。三、分式方程的增根。
1、分式方程的增根是适合去分母后的整式方程但不适合原方程的根；
2、增根产生的原因：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，我们在解分式方程时，为去分母，要在方程两边同时乘以各分母的最简公分母，当最简公分母为0时，就产生了增根。
3、排除增根的方法。
由于产生增根的原因是在方程的两边同时乘以了“**”的零——最简公分母，因此，判断是否是增根，应将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原方程的解；否则，这个解不是原分式方程的根。
详解点。四、列分式方程解应用题。
1、列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．
2、列分式方程解应用题的步骤：
1）审：审清题意，找出相等关系和数量关系。
2）设：根据所找的数量关系设出未知数。
3）列：根据所找的相等关系和数量关系列出方程。
4）解：解这个分式方程。
5）检：对所解的分式方程进行检验，包括两层，不仅要对实际问题有意义，还要对分式方程有意义。
注：分式方程的应用与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验；
6）答：写出分式方程的解。
第二部分例题解析。
例题1、下列关于x的方程，，，x-2=0，，，4x-5=0，哪些是整式方程，哪些是分式方程？
例题2、解分式方程：（1）；（2）；
变式练习1】
解方程：（12）
例2、 a为何值时，方程会产生增根？
变式练习2】
1）分式方程的增根是。
2）若分式方程有增根，则 ．
例3．甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖。甲进货的策略是：每次买1000元钱的糖；乙进货的策略是每次买1000斤糖，最近他俩同去买进了两次**不同的糖，问两人中谁的平均**低一些？
变式练习3】 甲开汽车，乙骑自行车，从相距180千米的a地同时出发到b．若汽车的速度是自行车的速度的2倍，汽车比自行车早到2小时，那么汽车及自行车的速度各是多少？
变式练习4】 a、b两地路程为150千米，甲、乙两车分别从a、b两地同时出发，相向而行，2小时后相遇，相遇后，各以原来的速度继续行驶，甲车到达b后，立即沿原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达a地，求甲车原来的速度和乙车的速度．
变式练习5】 甲、乙两地相距50千米，a骑自行车，b乘汽车同时从甲城出发去乙城，已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，b中途休息了半个小时，还比a早到2小时，求a和b两人的速度？
变式练习6】、轮船顺水航行100千米所需的时间和逆水航行80千米所需的时间相同，已知水流速度为2千米/小时，求船在静水中的速度。
变式练习7】某工程甲、乙两队合做2天完成全工程的，甲队独做所需天数是乙队独做所需天数的2倍，现由甲队先做4天后，甲、乙合做2天，余下的由乙队独做，共需几天完工？
第三部分巩固练习。
a组。1．下列方程：①；是分式方程的有（ ）
abcd、②③
2．已知与的值互为倒数，的值为（ ）
a、-1b、0cd、1
3．方程的解的情况为（ ）
ab、 c、解为除-3以外的任意数 d、无解。
4．方程的解是。
5．分式方程的增根是。
6．若分式方程有增根，则 ．
7．解方程。
8 .当a取何值时，方程会产生增根．
9．一个十位数字是6的两位数，若把个位数字与十位数字对调，所得数与原数之比为。
求原数。10．a、b两地相距80千米，一辆公共汽车从a地出发，开往b地，2小时后，又从a地同方向开出一辆小汽车，小汽车的速度是公共汽车的3倍，结果小汽车比公共汽车早40分钟到达b地，求两车的速度。
11.沿河两城市相距180千米，某船顺水航行4小时可抵达，如果水流速度每小时8千米，船在静水中每小时能行多少千米？逆水返回需要几个小时？
b组。1、 已知，求的值．
2、已知，求的值。
3、已知：，求的值．
4、已知：2a-3b+c=0,3a-2b-6c=0,a,b,c≠0，求的值．
第四部分中考体验。
1、分式方程的根是( )
a. b. c. d.无实根。
2、已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为
3、在数轴上，点a、b对应的数分别为2、，且a、b两点关于原点对称，则的值为 。
4、已知关于x的分式方程的解是非正数，则a的取值范围是。
5、如图，点a，b在数轴上，它们所对应的数分别是和，且点a，b到原点的距离相等，求的值。
6、解方程：
7、对于代数式和，你能找到一个合适的值，使它们的值相等吗？写出你的解题过程。
8、小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．求走路线一和路线二时的各自的平均速度。
8年级数学分式方程及其应用
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