第16讲分式方程及其应用。
考点·方法·破译。
1．分式方程(组)的解法。
解分式方程的一般步骤：⑴去分母，将分式方程转化为整式方程；⑵解整式方程；⑶验根。有的分式方程也要依据具体的情况灵活处理。
如分式中分子(整式)的次数高于等于分母(整式)的次数时，可利用分拆思想，把分式化为“整式＋分式”的形式，化简原方程再解；或将分式方程两边化为分子(或分母)相等的分式，再利用分母(或分子)相等构成整式方程求解；或利用换元法将分式方程化为整式方程，或利用倒数法使方程更简便。
2．分式方程增根。
在解分式方程时，通常将分式方程两边同时乘以最简公分母(化为整式方程)，这就扩大了未知数的取值范围，可能产生增根。因此，解分式方程时一定要验根。又如求分式方程的解的取值范围(解是正数，或解是负数)时，要注意剔除正数解或负数解中的增根(因为增根不是分式方程的根).
3．列分式方程解应用题。
列分式方程解应用题同运用整式方程解应用题的方法和步骤是类似的，但要注意分式方程求出的未知数的解要双重检验，①检验是否是增根，②检验解是否符合实际意义。
经典·考题·赏析。
例1】解下列方程：
变式题组】
例２】当m为何值时，分式方程－＝会产生增根？
变式题组】01．分式方程－＝的增根是。
02．若分式方程－＝1有增根，则它的增根为( )
a．0 b．1 c．－1 d．1，－1
03．若关于x的方程＝1－无解。则m的值为。
04．分式方程－＝无解，则m的值为。
例３】已知关于x的方程＝3的解是正数，则m的取值范围是。
变式题组】01．关于x的方程＝1的解是正数，则a的取值范围是( )
a．a＞－1 b． a＞－1，且a≠0 c． a＜－1 d． a＜－1，且a≠－2
02．当m为何值时，关于x的方程＝－的解是正数？
例４】某体育用品商场**某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元。
该商场两次共购进这种运动服多少套？
如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于20%，那么每套售价至少是多少元？
变式题组】01．某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x套，则根据题意可得方程为( )
a．＋＝18 b．＋＝18
c．＋＝18 d．＋＝18
02．铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了0.5元，购进苹果数量是试销的2倍。
试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元？
如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价**，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定价的七折售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？
03．由甲、乙两个工程队承包某校校园绿化工程， 甲、乙两队单独完成这项工程所需时间比是3:2，两队合做6天可以完成。
求两队单独完成此项工程各需多少天？
此项工程由甲、乙两队合做6天完成任务后，学校付给他们20000元报酬，若按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各得到多少元？
演练巩固·反馈提高。
01．关于x的分式方程＝1，下列说法正确的是( )
a．方程的解是x＝m＋5 b． m＞－5时，方程的解是正数
c． m＜－5时，方程的解是负数 d．无法确定。
02．甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是( )
a．8 b．7 c．6 d．5
03．用换元法解分式方程－＋1＝0时，如果设＝y，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是( )
a． y2＋y－3＝0 b． y2－3y＋1＝0 c． 3y2－y＋1＝0 d． 3y2－y－1＝0
04．有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900㎏和1500㎏.已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300㎏，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克。设第一块试验田每亩收获蔬菜x㎏，根据题意，可得方程( )
a．＝ b．＝
c．＝ d．＝
05．若关于x的分式方程－＝1无解，则a
06．方程＋3＝的解为。
07．若x＝1是方程＋＝0的解，则a
08．若a＝，b＝＋1，当x时，a＝b．
09．若x＝3是方程＋＝0的解，则－÷的值为。
10．如果关于x的方程1＋＝的解，也是不等式组的一个解，求m的取值范围。
11．关于x的分式方程＝－有解，求k的取值范围。
12．要使关于x、y的二元一次方程组有正整数解，求整数a的值。
13．某工程准备招标，指挥部接到甲、乙两个工程队的标书，从标书中得知：乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍，该工程若由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成。
求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？
已知甲队每天的施工费用为0.67万元，乙队每天的施工费用为0.33万元，该工程预算的施工费用为19万元。
为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，问：该工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需要追加预算多少万元？
请说明理由。
14．在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成。
乙队单独完成这项工程需要多少天？
甲队施工一天，需付工程款3．5万元，乙队施工一天需付工程款2万元。若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？
培优升级·奥赛检测。
01．若实数x、y、z满足方程组： ，则有( )
a． x＋2y＋3z＝0 b． 7x＋5y＋3z＝0 c． 9x＋6y＋3z＝0 d．10x＋7y＋z＝0
02．某段公路由上坡、平路、下坡三个等长的路段组成，已知一辆汽车在三个路段上行驶的平均速度分别为v1、v2、v3，则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为( )
a． b． c． d．
03．解分式方程＋＝会产生增根，则m
04．方程＋＋…1＋的解是。
05．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是___分钟。
06．解下列方程：
07．已知方程组＝，＝9，＝恰好有一组解为x＝a，y＝b，z＝c．求a2＋b2＋c2的值。
08．设x、y都是整数，－＝求y的最大正整数的解。
09．***决定从2023年2月1日起，“家电下乡”在全国范围内实施，农民购**选产品，**按原价购买总额的13%给予补贴返还。某村委会组织部分农民到商场购**选的同一型号的冰箱、电视机两种家电，已知购买冰箱的数量是电视机的2倍，且按原价购买冰箱总额为40000元、电视机总额15000元。根据“家电下乡”优惠政策，每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元，求冰箱、电视机各购买多少台？
设购买电视机x台，依题意填充下列**：
列出方程(组)并解答。
10．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑**不断下降。今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元。
今年三月份甲种电脑每台售价多少元？
为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？
如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使⑵中所有方案获利相同， a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？
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