22.5 菱形。
第1课时菱形的性质。
1．掌握的定义和性质及菱形面积的求法；(重点)
2．灵活运用菱形的性质解决问题．(难点)
一、情境导入。
将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢？这就是另一类特殊的平行四边形，即菱形．
二、合作**。
**点一：菱形的性质。
类型一】 利用菱形的性质证明线段相等。
如图，四边形abcd是菱形，ce⊥ab交ab延长线于e，cf⊥ad交ad延长线于f.求证：ce＝cf.
解析：连接ac.根据菱形的性质可得ac平分。
dab，再根据角平分线的性质可得ce＝fc.
证明：连接ac，∵四边形abcd是菱形，∴ac平分∠dab.∵ce⊥ab，cf⊥ad，∴ce＝cf.
方法总结：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
类型二】 利用菱形的性质进行有关的计算。
如图，o是菱形abcd对角线ac与bd的交点，cd＝5cm，od＝3cm.过点c作ce∥db，过点b作be∥ac，ce与be相交于点e.
1)求oc的长；
2)求四边形obec的面积．
解析：(1)在直角三角形ocd中，利用勾股定理即可求解；(2)利用矩形的定义即可证明四边形obec为矩形，再利用矩形的面积公式即可直接求解．
解：(1)∵四边形abcd是菱形，∴ac⊥bd.在直角三角形ocd中，oc＝[_od^_{altimg':
w': 100', h': 41', eqmath':
r(cd\\s(2,)－od\\s(2t': latex', orirawdata': sqrt_{}3^_{altimg':
w': 70', h': 41', eqmath':
r(5\\s(2,)－3\\s(2,))4(cm)；
2)∵ce∥db，be∥ac，∴四边形obec为平行四边形．又∵ac⊥bd，即∠cob＝90°，∴平行四边形obec为矩形．∵ob＝od，∴s矩形obec＝ob·oc＝4×3＝12(cm2)．
方法总结：菱形的对角线互相垂直，则菱形对角线将菱形分成四个直角三角形，所以可以利用勾股定理解决一些计算问题．
类型三】 运用菱形的性质证明角相等。
如图，四边形abcd是菱形，对角线ac、bd相交于点o，dh⊥ab于h，连接oh，求证：∠dho＝∠dco.
解析：根据“菱形的对角线互相平分”可得od＝ob，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得oh＝ob，∠ohb＝∠obh，根据“两直线平行，内错角相等”求出∠obh＝∠odc，然后根据“等角的余角相等”证明即可．
证明：∵四边形abcd是菱形，∴od＝ob，∠cod＝90°.∵dh⊥ab，∴oh＝['altimg':
w': 22', h': 43', eqmath':
f(1,2)'}bd＝ob，∴∠ohb＝∠obh.又∵ab∥cd，∴∠obh＝∠odc，∴∠ohb＝∠odc.在rt△cod中，∠odc＋∠dco＝90°.
在rt△dhb中，∠dho＋∠ohb＝90°，∴dho＝∠dco.
方法总结：本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键．
类型四】 运用菱形的性质解决**性问题。
感知：如图①，在菱形abcd中，ab＝bd，点e、f分别在边ab、ad上．若ae＝df，易知△ade≌△dbf.
**：如图②，在菱形abcd中，ab＝bd，点e、f分别在ba、ad的延长线上．若ae＝df，△ade与△dbf是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．
拓展：如图③，在abcd中，ad＝bd，点o是ad边的垂直平分线与bd的交点，点e、f分别在oa、ad的延长线上．若ae＝df，∠adb＝50°，∠afb＝32°，求∠ade的度数．
解析：**：△ade与△dbf全等，利用菱形的性质首先证明三角形abd为等边三角形，再利用全等三角形的判定方法即可证明△ade≌△dbf；拓展：
因为点o在ad的垂直平分线上，所以oa＝od，再通过证明△ade≌△dbf，利用全等三角形的性质即可求出∠ade的度数．
解：**：△ade与△dbf全等．∵四边形abcd是菱形，∴ab＝ad.
∵ab＝bd，∴ab＝ad＝bd，∴△abd为等边三角形，∴∠dab＝∠adb＝60°，∴ead＝∠fdb＝120°.∵ae＝df，∴△ade≌△dbf；
拓展：∵点o在ad的垂直平分线上，∴oa＝od.∴∠dao＝∠adb＝50°，∴ead＝∠fdb＝130°.
∵ae＝df，ad＝db，∴△ade≌△dbf，∴∠dea＝∠afb＝32°，∴eda＝∠oad－∠dea＝18°.
方法总结：本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质的综合运用，解题时一定要熟悉相关的基础知识并进行联想．
**点二：菱形的面积。
已知菱形abcd中，对角线ac与bd相交于点o，∠bad＝120°，ac＝4，则该菱形的面积是( )
a．16[',altimg': w': 33', h':
29', eqmath': r(3)'}b．8[',altimg': w':
33', h': 29', eqmath': r(3)'}c．4[',altimg':
w': 33', h': 29', eqmath':
r(3)'}d．8
解析：∵四边形abcd是菱形，∴ab＝bc，oa＝['altimg': w':
22', h': 43', eqmath': f(1,2)'}ac＝2，ob＝['altimg':
w': 22', h': 43', eqmath':
f(1,2)'}bd，ac⊥bd，∠bad＋∠abc＝180°.∵bad＝120°，∴abc＝60°，∴abc是等边三角形，∴ab＝ac＝4，∴ob＝[_oa^_{altimg': w':
101', h': 41', eqmath': r(ab\\s(2,)－oa\\s(2t':
latex', orirawdata': sqrt_{}2^_{altimg': w':
69', h': 41', eqmath': r(4\\s(2,)－2\\s(2,))2[',altimg':
w': 33', h': 29', eqmath':
r(3)'}bd＝2ob＝4[',altimg': w': 33', h':
29', eqmath': r(3)'}s菱形abcd＝['altimg': w':
37', h': 17', eqmath': s(, f)(1,2)'}ac·bd＝['altimg':
w': 22', h': 43', eqmath':
f(1,2)'}4×4[',altimg': w': 33', h':
29', eqmath': r(3)'}8[',altimg': w':
33', h': 29', eqmath': r(3)'}故选b.
方法总结：菱形的面积有三种计算方法：①将其看成平行四边形，用底与高的积来求；②对角线分得的四个全等三角形面积之和；③两条对角线的乘积的一半．
三、板书设计。
1．菱形的性质。
菱形的四边条都相等；
菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．
2．菱形的面积。
s菱形＝边长×对应高＝['altimg': w': 37', h': 17', eqmath': s(, f)(1,2)'}ab(a，b分别是两条对角线的长)
通过剪纸活动让学生主动探索菱形的性质，大多数学生能全部得到结论，少数需要教师加以引导．但是学生得到的结论，有一些是他们的猜想，是否正确还需要证明，因此问题就上升到证明这个环节．在整个新知生成过程中，**活动起了重要的作用．课堂中学生始终处于观察、比较、概括、总结和积极思维状态，切身感受到自己是学习的主人．为学生今后获取知识、探索发现和创造打下了良好的基础，更增强了敢于实践，勇于探索，不断创新和努力学习数学知识的信心和勇气．
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