九年级数学上册3 4直线与圆的位置关系圆的切线中“

圆的切线中“连接”的妙用。

利用圆的切线性质和其判定定理解决一些有关圆的切线问题时，通常要添加辅助线，其中“连结”就是一种重要的辅助线作法。即利用圆的切线进行运算或证明时，通常要把切点与圆心连结起来，充分利用“垂直”来解决问题；在证明圆的切线时，把该直线和圆的交点与圆心连结结起来，证明此半径垂直于该直线即可。

下面通过几例，让我们一起来体会一下“连结”的妙用。

一、利用圆的切线进行运算。

例1：如图1，在同心圆⊙o中，大圆的弦ab切小圆于点c，且ab=6cm，求圆环的面积。

分析：因为大圆的弦ab切于小圆c点，所以连结oc，可得oc⊥ab，进而根据垂径定理求得ac=ab=3。圆环的面积是大圆面积与小圆面积的差，连结oa，此时oa为大圆半径，oc为小圆半径，在rt⊿aoc中，利用勾股定理可求出(oa2－oc2)的值，就可求出圆环的面积。

解：连结oc、oa

ab切小圆于点c ∴oc⊥ab ∴ac=ab=3

在rt⊿aoc中， ∵oa2－oc2=ac2=9

s圆环 =s大圆－s小圆=(cm2)

答：圆环的面积是9πcm2。

二、利用圆的切线进行证明。

例2：如图2，ab为⊙o的直径，c为⊙o上一点，ad与过点c的切线互相垂直，垂足为d。

求证：ac平分∠dab

分析：要证明ac平分∠dab，就是要证∠1=∠2。c为切点，连结oc

可得oc⊥ac，进而证得ad∥oc，得到∠1=∠3，其它问题就会迎刃而解。

证明：连结oc

cd为o的切线 ∴oc⊥cd

又∵ad⊥cd ∴ad∥oc ∴∠1=∠3

oa=oc ∴∠2=∠3 ∴∠1=∠2

即ac平分∠dab

三、证明圆的切线。

例3，如图3，在⊿aef中，∠bac的平分线ad与⊿aef的外接圆⊙o交于d点，过d点作bc∥ef，分别交ae和af的延长线于点b和点c。

求证：bc为⊙o的切线。

分析：要证明bc为⊙o的切线，根据切线的判定定理需要两个条件：

bc要过半径的外端； bc要与这条半径垂直。现在bc恰好过⊙o上的。

一点d，连结od，条件就自然具备了，只要证明od⊥bc问题就会解决。

因为ad平分∠bac，所以可得，根据垂径定理可知od⊥ef，再利用ef∥bc，可证得od⊥bc。

证明：连结od

ad平分∠bac ∴

od为o的半径 ∴od⊥ef

又∵ef∥bcod⊥bc

bc过半径od的外端d ∴bc为⊙o的切线。

试一试：1、如图4，ab为⊙o的直径，⊙o过bc上一点d，过d作de⊥ac于e点。

求证：bd=cd

2、如图5，在⊙o中，半径oa⊥ob，弦bc交oa于点d，e为oa延长线上的一点，且ec=ed。

求证：ec是⊙o的切线。

参***：1、提示：连结od，可得od⊥de。因为de⊥ac，所以od∥ac，由oa=ob可证得，od为⊿abc的中位线，所以bd=cd。

2、提示：连结oc，在rt⊿bod中，∠obd＋∠odb=900

由ec=ed，得∠edc=∠ecd=∠bdo 由ob=oc得 ∠obd=∠ocd

所以∠ocd＋∠ecd=900 即oc⊥ec，所以ec是⊙o的切线。