三年级下数学教学实录-数学广角重叠问题人教新课标。
一、设疑引入。1、出示通知。
师：同学们，前几天我到一所小学听课，发现学校给每个班发了一份通知，请同学们看一下：（出示通知，一生读）
通知。为迎接2023年北京奥运会的召开，学校定于5月21日、22日下午分别举行书法、绘画比赛。要求：
每班选5名同学参加书法比赛，6名同学参加绘画比赛。实验小学教导处2023年4月21日。
师：根据学校的通知要求，每个班一共要选多少人参加这两项比赛？生：
（齐）11人！师：怎么算的？
生：5+6＝11(人)。师：
你们同意这种做法吗？生：同意。
师（稍顿）：真同意？生：同意！
2、查看原始数据，引出重复。
师：果真是这样吗？（在算式后打问号）请看我从三（１）班记录的参加比赛的学生名单（课件出示两组学生名单），左边这几个同学就是参加书法比赛的那5个人，右边这几个同学就是参加绘画比赛的那6个人。
书法比赛绘画比赛。
师：请仔细观察这份参赛的学生名单，你觉得我们刚才的答案怎么样？生：错了。
师：怎么会错了呢？再仔细看看，谁来说说？生：有重复的。
师：你这里的“重复”是什么意思？生1：有的同学参加了两项比赛。
生2：有的同学既参加了书法比赛又参加了绘画比赛。师：谁重复了？有几个人重复了？生：杨明和李芳两个人重复了。
师：因为有重复的，如果还是直接用5+6怎么样？生：不行了，那样的话杨明和李芳就算了2次了。3、揭示课题。
师：生活中像这样有重复现象的问题，在数学上我们把它叫做重叠问题（板书课题：重叠问题）。
评析：北宋张载曾说：“有不知，则有知；无不知，则无知。
”“于无疑处有疑，方是进矣。”这启迪我们，激起学生内心的疑问是引发学生主动求知的动力源泉。当教师问学生“每个班一共要选多少人参加这两项比赛？
”的问题时，学生异口同声地作出了回答，声音响亮、语气肯定。“果真是这样吗？”，随着。
教师轻轻的一句反问，加上“学生名单”的适时呈现，学生的头脑里跃出一个大大的问号——过去求总数就是直接把各部分的数量加起来的呀，怎么在这里行不通了呢？新情况出现了，遇到新问题了，于是研究“重叠问题”变成了学生源自内心的学习需求。】
二、**新知。
1、激发**欲望，明确**要求。
师：刚才，我们通过仔细地查看三（1）班参赛的学生名单，发现有2个同学重复了，但是从这份名单中你能一下子就看出是哪2个人重复了吗？（生流露出困难的神情）有难度是吧？
师：看来我这样记录不够清楚，大家想想办法，怎样重新设计一下这份名单能让我们看得更清楚一些？（课件出示要求：
既要能让人很清楚地看出参加书法比赛的是哪5个人，参加绘画比赛的是哪6个人，又要能让人很明显地看出两项比赛都参加的是哪两个人。）
请同学们思考一下（约10秒钟后），大家现在有办法了吗？先不急着说，请把你想到的方法在练习纸上表示出来，行吗？你可以自己画，如果感觉有些困难也可以和你小组内的同学合作完成。
2、学生**画法，师巡视，从中找出有代表性的作品准备交流。3、展示交流。
师：我发现咱们班同学的画法很有创意，我从中选了几份，咱们共同来分享一下。我们不让画图的同学自己介绍，只把他们画的图让大家看，我觉得，不用自己介绍就能让别人看懂的方法那才是好方法。
评析：这个过程中，我们被教师的语言魅力所感染。没有声嘶力竭的叫喊，没有故作惊人的造作，没有无病装病的呻吟，教师说得随意，学生听得轻松，教师问得精彩，学生答得从容。
如“刚才，我们通过仔细地查看三（1）班参赛的学生名单，发现有2个同学重复了，但是从这份名单中你能一下子就看出是哪2个人重复了吗？”“你可以自己画，如果感觉有些困难也可以和你小组内的同学合作完成。”“我们不让画图的同学自己介绍，只把他们画的图让大家看，我觉得，不用自己介绍就能让别人看懂的方法那才是好方法。
”随处可见教师语言功底，如清风徐来，波澜不惊。】
师（出示作品1如下图）：我们来看这位同学的方法，他这样画的意思谁看懂了？
书法比赛绘画比赛。
生：他把李芳和杨明都放在前面了，我们就能看出是他们俩重复了。师：那你觉得这种画法比刚才我的画法怎么样？生：这样能更清楚地看出谁重复了。
师（出示作品2如下图）：我们再来看这位同学的方法，他这样表示你们觉得怎么样？
书法比赛绘画比赛。
生：他把重复的同学圈出来了，比刚才的方法更清楚。
师（出示作品3如下图）：我们再来看这位同学的表示方法，大家觉得怎么样？
书法比赛绘画比赛。
生1：我觉得这种方法很好。能一下子就看出重复参加两项比赛的同学是杨明和李芳。
生2:而且重复的两个同学他只写了一次。
师：他把参加两项比赛的同学单独放到一个圈里，更清楚了。而且重复的两个同学他只写了一遍，比刚才两边都要写的方法更简便了。可是参加书法比赛的是几个人？
生：5个人。
师：那为什么圈中只有3个人呀？
生：下面那个圈内还有两个同学是两项比赛都参加的，所以他们也是参加书法小组的，加起来就是5个了。
师：把参加书法比赛和参加绘画比赛的同学都分到了两个圈里，你觉得这样表示怎么样？清楚吗？
生：我觉得还是放在一个圈里比较清楚。师：大家觉得呢？
生齐：放在一个圈里更清楚。
师：那我们能不能把这种方法改进一下？让参加书法比；师请作品3的作者把参加书法比赛的那5个同学用一个；书法比赛绘画比赛；丁刚张伟王强周晓；陈东朱雨于丽；杨明李芳；师：
你们觉得这样表示怎么样？生1：这样表示很清楚；生2：
我觉得这种方法很好，能一下子就看出参加书法；4、揭示韦恩图；师：同学们的表现这么精彩，让我不禁想起了一个人，；5、整理画法，完成板书；师：下面我。
师：那我们能不能把这种方法改进一下？让参加书法比赛和参加绘画比赛的同学还在一个圈里呢？（学生思考）
师请作品3的作者把参加书法比赛的那5个同学用一个圈圈出来，再把参加绘画比赛的那6个同学圈出来，此时出现了不规则的韦恩图“雏形”。
书法比赛绘画比赛丁刚张伟王强周晓陈东朱雨于丽杨明李芳。
师：你们觉得这样表示怎么样？生1：这样表示很清楚。
生2：我觉得这种方法很好，能一下子就看出参加书法比赛和参加绘画比赛的各是哪些人，还能很清楚地看出两项比赛都参加的是哪两个人。
4、揭示韦恩图。
师：同学们的表现这么精彩，让我不禁想起了一个人，他就是英国的逻辑学家韦恩，在100多年以前，他第一个想到了这样的图，因此这种图就叫韦恩图（板书：韦恩图），也叫集合图。
我们同学真了不起，都和韦恩想到一块去了。
5、整理画法，完成板书。
师：下面我们把同学们创造出来的韦恩图搬到黑板上来。用一个圈来表示参加书法比赛的同学，再用一个圈来表示参加绘画比赛的同学（师边说边用红笔和蓝笔画了两个交叉的椭圆），还是两个圈，不同的是这两个圈不是分开的，而是。
有一部分重叠在一块的，利用两个圈重叠的这一部分我们恰好可以用来表示什么？
生：既参加书法比赛又参加绘画比赛的。师：有几个人？是谁？生：杨明和李芳。
师画两个小长方形表示人名）。
评析：教师没有板书学生的姓名，而是用小长方形代替，向学生渗透了符号思想，也为日后进一步优化韦恩图（直接用数字表示）起了重要的“桥梁”作用。】
师：我们只把参加两项比赛的同学写了一遍，但是参加书法比赛的圈里有了吗？参加绘画比赛的圈里有了吗？这可真是一举——（生答）两得！
师：参加书法比赛的除了杨明和李芳还有几个人？（生：3个人。）应该写在**？
生：左边。师：（在左边月牙形里画3个小长方形）同是参加书法比赛的5个同学，这3个人与这2个人有什么不同？
生：这3个同学是只参加书法比赛的。这两个人不但参加了书法比赛，还参加了绘画比赛。
师：那右边月牙形的这一部分表示什么？生：只参加绘画比赛的。师：有几个人？生：4个。
师：（在右边月牙形里画4个小长方形）同学们请看，我们只用了简单的两个圈，就清楚地表示出了这么多的信息，韦恩图好不好？韦恩的发明简单不简单？
原来发明创造就这么简单！你们可以吗？其实我们每个人都可以有自己的创造！
评析：寥寥数语让学生更进一步体会到简单之美！创造之美！数学之美！使学生相信“我们每个人都可以有自己的创造！”从而激发起学生强烈的创造意识！】
6、深化对韦恩图的认识。
师：对于韦恩图各部分表示的意思你都明白吗？请同位两个同学互相说一说。（学生同伴互说）
7、数形结合，解决问题。
师：现在，你能不能根据韦恩图列算式来解决三（１）班一共有多少人参加了这两项比赛？
整理算法：生1：5＋6－2＝9（人）生2：3＋2＋4＝9（人）生3：5－2＋6＝9（人）生4：6－2＋5＝9（人）
师：现在我们能用这么多的方法算出三（1）班参加比赛的一共是9个人，是谁帮了我们的大忙啊？
生：韦恩图。
师：韦恩图确实好吧？想不想用韦恩图来解决几个生活中的问题？
评析：荷兰数学家弗赖登塔尔说过：“学习数学的唯一正确方法是实行再创造，也就是由学生把本人要学习的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造工作，而不是把现成的知识灌输给学生。
”此话虽有“矫枉过正”之嫌（把“再创造”视为学习数学的唯一正确方法），但他所推崇的“再创造”学习法确实有独特的教育价值。课堂上，教师先明确提出了要达成的学习目标——创造一种新的记录两组学生名单的方法，使其充分体现出重叠问题中信息的特殊性。尽管学生无法在一节课内“创造”出与前辈数学家同样的韦恩图，但他们对“重叠问题”的理解会因为自己的“创造”而变得更加深刻、丰富、灵动。
在此基础上，通过教师的稍加点拨，“韦恩图”便浮出了水面！其后学生对韦恩图所表示信息的到位分析和流畅表达，解决课始问题时展现出的多样方法，与经历再创造过程所蓄积的学习智慧是息息相关的。】
三、综合应用。1、动物的问题。
师出示一组动物**：这些动物有会游泳的，有会飞的？如果让你选一种合适的集合圈，把这些动物的序号填在合适的位置，你会选哪一种？a b
生：选b，因为这些动物中有既会飞的也会游的。师：是什么动物？生：天鹅。
师：你是分析了这些动物的特点之后决定选b的，如果没有重叠的情况选哪个合适？
生：选a。师：左边这个圈表示会游泳的，右边这个圈表示会飞的，那中间的这一部分表示什么？
生：既会飞又会游泳的。
师：左边月牙形这部分表示什么？右边月牙形这一部分表示什么？生：只会游泳的和只会飞的。
师生按照顺序共同把每种动物填在合适的位置。
师：这里还有一种动物，我把它填在了这个位置（两圈外围），你知道这是一种怎样的动物吗？
生：既不会游泳也不会飞的动物。师：这样的动物有哪些？生1：兔子生2：老虎生3：??
师：太多了，我们不一一去说了。原来韦恩图的外面也可以表示一种信息！
【评析：借助现有的练习题中的图，增设一个巧妙的问题“这里还有一种动物，我把它填在了这个位臵（两圈外围），你知道这是一种怎样的动物吗？”便把集合图由“圈内”引向了“圈外”，毫不费力地将学生的视野拓展开来。
】2、文具店的问题。出示下题：
师：看到这个问题，你首先注意的是什么？你们在观察什么？生：看有没有重复的。
师：你真棒，思考问题更全面了！师：可以怎么计算？（生答略）
师：有很多的方法，其中的一种可以这样做（课件出示）：5＋5－3＝7（种）【评析：教师出示众多方法中的一种，暗含了算法的优化。】3、拓展练习，回扣课始的问题。
师：课上到这里，同学们还这么有精神，真棒！下面我们再回过头来，看看那份学校的通知和我们已经解决的那个问题：
每班一共要选多少人参加这两项比赛？我们一开始脱口而出的答案是5+6=11人，后来看到三（1）的参赛名单，发现有2人重复了，实际只有9个人。
我们现在再来思考这个问题，三（1）班是9人，其它班级呢？每个班一定是9人吗？
生：不一定。
师：还可以是多少人？生1：8人生2：11人生3：6至11人。师：什么情况下是11人？生：没有重复的情况下。
师：也就是说我们一开始的做法有没有考虑重复的情况？（板书：无重复）师：至少是多少人？
生：6人。师：什么情况下是6人？
生：有5人重复了，参加书法比赛的同学全部参加绘画比赛。
师（出示一大一小两个圈）：如果用这个小圈来表示参加书法比赛的同学，用这个大圈来表示参加绘画比赛的同学，我这样放表示的是哪种情况？（分开的）
生：没有重复的。
师：这样呢？（两圈有重叠部分）生：有重复的。
师：这样呢？（小圈放入大圈）；生：
参加书法比赛的同学全部参加了绘画比赛；师：同学们，这样一个我们本来觉得很简单的问题，经；【评析：教师设计的应用练习从简单到复杂，从收敛到；四、总结延伸；师：
同学们，这节课我们解决了很多问题，关于韦恩图；（学生沉思，似乎对所学的知识已全然领悟了，这时老；师：老师这里有个问题，请看（课件出示下表），这是；三（１）班参加课外小组的。
师：这样呢？（小圈放入大圈）
生：参加书法比赛的同学全部参加了绘画比赛。
师：同学们，这样一个我们本来觉得很简单的问题，经过我们深入地思考，原来还有这么多的学问。
评析：教师设计的应用练习从简单到复杂，从收敛到开放，从正向到逆向，既链接了丰富的课程资源，又实现了对数学思维的层层拓展。前两道题的素材**于课本习题，但教师对此都进行了“二度加工”，使学生不只掌握了知识，而且受到了思想方法的熏陶。
第三道题目是在课始问题基础上做出的横向（素材上）
和纵向（思维上）的自然延伸，学生对“重叠问题”完成了结构化水平的自主建构。如此广度与深度兼具的数学课堂，实属难得！】
四、总结延伸。
师：同学们，这节课我们解决了很多问题，关于韦恩图和重叠问题，你还有新的问题吗？老师更喜欢那些在解决了问题之后还能提出新问题的同学！
学生沉思，似乎对所学的知识已全然领悟了，这时老师抛出一个新的问题。）
师：老师这里有个问题，请看（课件出示下表），这是三年级一班参加课外小组的学生名单，为了研究的方便，我用他们的学号来表示。从这份名单中你发现了什么？
三（１）班参加课外小组的学生名单语文数学1 1 12 2 33 7 74 8 115 9 126 10 13英语。
生：我发现1号同学三个小组都参加了；2号同学参加了语文和数学小组；3号同学参加了语文和英语小组；7号同学参加了数学和英语小组。
师：重叠现象更复杂了是吧？怎么用韦恩图来表示这三个小组的重叠问题呢？同学们课下可以继续研究，有兴趣吗？好，这节课就上到这里，下课！
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